022 - Expected Values for Continuous Variables!!!

$$\sum xP(X=x)$$

여기서 확률 분포가 이산확률 분포가 아닌 연속확률 분포라면..?

전 강의에서 나온 예시로 내기를 할 때, 결과값이 0, 1 이런 식으로 불연속적인 것을 이산(Discrete)라고 한다.

이에 대비되는 개념으로 변수(variable)가 연속적인 것을 continuous 하다고 한다.

실제 상황을 예시로 들어 대기 시간을 변수로 설정한다면, 이는 연속적인 분포일 것이다. 그리고 이가 아래와 같은 exp 분포 형태를 가진다고 가정해보자.

Transclude of Expected_Values_Continuous_Variables_Notes_Screenshot_(1

.png)

여기서 $\lambda$는 rate라고도 불린다.

만약 0~10s 사이의 누군가를 만날 확률을 구하고 싶다면,

이처럼 적분으로 구할 수 있을 것이다.

• 함수가 위와 같이 설정된 이유

  전체 구간 적분하면 1로 fit 된다. → 확률의 성질을 반영한 분포.

실제 우리는 정확한 연속확률분포를 구할 수 없기 때문에, 이산확률 분포와 연속 확률분포를 비슷하게 세팅하여 근사하는 방식으로 사용.

그리고 이러한 근사는 각 bin(interval)의 사이즈가 작아지면 작아질수록 원 분포에 가까워 질테니, 근사 정확도도 증가할 거고

그래서 위 discrte 버전의 기댓값 식을 연속확률 분포 버전으로 수정해보자면,

$$E(X)=\int xf(X=x)dx$$

$\lambda$를 rate로 삼은 exp function은 기댓값이 아래와 같이 $\frac{1}{\lambda }$라고 한다.