Auto-Encoding Variational Bayes

Auto-Encoding Variational Bayes (변분 베이즈 오토인코딩)

Digest: 연속형 잠재변수(continuous latent variables)를 가진 방향성 확률 모델에서 사후분포 p(z|x)가 해석적으로 계산 불가능(intractable)할 때, 대규모 데이터셋에서 효율적으로 추론(inference)과 학습(learning)을 수행하는 방법이 본 논문의 핵심 문제다. 기존의 Mean-field VB는 해석적 해를 요구했고, Monte Carlo EM은 데이터포인트별 내부 샘플링 루프 비용이 커서 확장성이 없었으며, Wake-Sleep은 두 개의 분리된 목적함수를 최적화해 ELBO(Evidence Lower Bound, 주변우도의 하한)에 정확히 대응하지 않았다. 저자들의 핵심 통찰은 “확률적 샘플링 노드 z ~ q(z|x)를 결정론적 함수 z = μ + σ⊙ε (ε ~ N(0,I))로 재매개변수화(reparameterize)하면 sampling 과정을 통과하는 역전파가 가능해진다”는 점이다. 이 reparameterization trick으로부터 SGVB estimator(Stochastic Gradient Variational Bayes, 저분산 그래디언트 추정량)와 AEVB algorithm(Auto-Encoding VB, 인식모델 q_φ를 신경망으로 상각하는 알고리즘)이 자연스럽게 도출되며, 이로써 인코더-디코더 구조의 Variational Autoencoder(VAE)가 단일 통합 ELBO 목적함수로 end-to-end 학습된다. MNIST와 Frey Face에서 AEVB는 wake-sleep보다 더 높은 lower bound에 더 빠르게 수렴했고 (Figure 2), 2차원 잠재공간에서 숫자 클래스/표정이 연속적인 매니폴드로 분리됨을 정성적으로 입증했다 (Figure 4). 한계로는 실험 데이터셋이 MNIST/Frey Face로 제한적이고 정량적 log-likelihood 표가 부실하다는 점, 그리고 diagonal Gaussian posterior라는 mean-field 가정이 실제 사후분포의 상관구조를 무시한다는 점이 있다. Open Questions: ELBO가 높다고 생성 품질이 좋은가?(blurry sample 문제), posterior collapse는 어떤 조건에서 발생하는가?, 더 표현력 있는 approximate posterior(normalizing flow, hierarchical)의 이득은 얼마인가? — 이 질문들은 각각 GAN/FID, β-VAE, VQ-VAE, Flow-based VAE, 그리고 Stable Diffusion의 LDM으로 이어지는 현대 생성모델 연구 전체의 출발점이 되었다.

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섹션별 요약

Introduction

• 배경: 방향성 그래피컬 모델에서 연속 잠재변수의 사후분포가 해석적으로 불가능할 때 variational inference가 일반적이지만, 전통적 mean-field VB는 기댓값의 해석적 계산을 요구해 적용 범위가 좁다.
• Motivation: neural network를 conditional distribution의 파라미터로 쓰면 flexibility는 얻지만 사후분포는 더 복잡해진다. 대규모 데이터에도 확장 가능한 일반화된 stochastic VI가 필요하다.
• 기여점:
  1. Reparameterization trick을 이용한 SGVB estimator — ELBO의 저분산 미분가능 추정량.
  2. i.i.d. 데이터에 대해 recognition model q_φ(z|x)를 fitting해 inference를 amortize — 데이터포인트마다 반복 최적화 대신 신경망 한 번의 forward pass.

Methods

• 생성모델: z ~ p_θ(z) (보통 N(0,I)) → x ~ p_θ(x|z) (디코더, MLP로 파라미터화된 Bernoulli 또는 Gaussian).
• 인식모델: q_φ(z|x) ≈ p_θ(z|x), 인코더 MLP가 (μ, log σ²) 출력.
• ELBO: log p_θ(x) ≥ L(θ, φ; x) = E_q[log p_θ(x|z)] − D_KL(q_φ(z|x) ‖ p_θ(z)) — (재구성항) − (KL 정규화항).
• Reparameterization: z = g_φ(ε, x) = μ_φ(x) + σ_φ(x) ⊙ ε, ε ~ N(0,I). 기댓값을 샘플 평균으로 근사하되 샘플링이 파라미터와 분리되어 ∂L/∂φ가 잘 정의된다.
• SGVB estimator: L̃(θ,φ;x) = (1/L) Σ_l log p_θ(x|z^(l)) − D_KL(q_φ(z|x) ‖ p_θ(z)); Gaussian prior·posterior에서 KL은 닫힌 형식.
• AEVB 알고리즘: 미니배치 SGD로 θ, φ를 동시에 업데이트. 데이터포인트당 L=1 샘플이면 미니배치 크기 M=100에서 충분.

Results

Model/Method	Dataset	Metric	Score	vs. Baseline
AEVB (VAE)	MNIST	Variational lower bound (nats)	Wake-sleep 대비 우수 (Figure 2)	더 높고 더 빠른 수렴
Wake-Sleep	MNIST	Variational lower bound	기준선	—
AEVB	Frey Face	Variational lower bound	Wake-sleep 대비 우수	더 높은 bound
AEVB (N_z=3)	MNIST small subset	Marginal likelihood (HMC 추정)	MCEM 및 Wake-sleep 능가 (Figure 3)	—
Monte Carlo EM	MNIST small subset	Marginal likelihood	AEVB보다 낮음	전체 데이터에는 불가
AEVB (N_z=2)	MNIST / Frey Face	매니폴드 시각화	숫자/표정 연속 분리	정성적 (Figure 4)

• 아키텍처: MNIST 500 hidden units, Frey Face 200 hidden units, Tanh activation, Adagrad, lr ∈ {0.01, 0.02, 0.1}, minibatch=100, L=1.
• 핵심 관찰: 잠재차원 N_z를 늘려도 과적합이 없다 — KL term이 자동 정규화 역할을 해 불필요한 유닛은 prior로 수렴.

Discussion

• 한계:
  • Posterior를 diagonal Gaussian으로 근사 → 잠재변수 간 사후 상관 무시.
  • 소규모 데이터셋(MNIST, Frey Face) 한정.
  • 정량적 log-likelihood 비교표 부재; 대부분 training curve로 제시.
• 향후 방향:
  • 더 표현력 있는 posterior (normalizing flow, IAF).
  • Hierarchical latent variables.
  • 시계열/구조 데이터로의 확장(DRAW, VRNN).

Insights

• 주목할 점: Reparameterization trick은 “randomness를 입력으로 분리”하는 한 줄의 아이디어다. z = μ + σ⊙ε 이 치환 하나로 stochastic node가 deterministic graph가 되고, 이것이 이후 모든 확률적 딥러닝의 backbone이 된다.
• 연결 고리: Denoising Autoencoder는 표면만 비슷하고, 잠재공간에 확률 구조를 부여한 점에서 근본이 다르다. GAN과 함께 생성모델의 양대 축을 이루며, Stable Diffusion의 VAE encoder가 LDM의 latent space를 제공한다.
• 시사점: Amortized inference 패러다임의 확립. Test time에 단일 forward pass로 latent을 얻는 실용성은 결정적이다.
• 비판적 코멘트: “VAE samples are blurry” 현상 — ELBO가 pixel-wise 평균 재구성을 최적화해 multimodality를 희석 — 을 논문에서 분석하지 않았다. 이후 β-VAE, VQ-VAE, 그리고 perceptual loss 기반 VAE가 이 문제를 다룬다.

Discussion Points

• 논쟁점: ELBO 최적화가 생성 품질을 보장하는가? likelihood vs. perceptual quality의 불일치 논쟁은 IS/FID 등 평가 지표 개발의 직접적 원인이 됐다.
• 검증 필요 가정: Mean-field(diagonal) Gaussian posterior가 실제 사후분포를 얼마나 잘 근사하는가? Normalizing Flow posterior의 이득을 정량화할 필요.
• 후속 연구:
  • β-VAE (Higgins+ 2017): disentangled representation.
  • VQ-VAE (van den Oord+ 2017): discrete codebook으로 posterior collapse 회피.
  • Latent Diffusion Model / Stable Diffusion (Rombach+ 2022): VAE encoder + diffusion in latent space.

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메타데이터

항목	내용
제목	Auto-Encoding Variational Bayes
저자	Diederik P. Kingma, Max Welling
소속	Universiteit van Amsterdam (Machine Learning Group)
연도	2013 (arXiv) / ICLR 2014
발표	arXiv:1312.6114 [stat.ML]
링크	arXiv, PDF
키워드	VAE, Variational Inference, ELBO, Reparameterization, Generative Model, Amortized Inference

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왜 이 연구를 하는가?

핵심 질문

연속형 잠재변수를 가진 심층 방향성 확률모델에서, 사후분포가 intractable하고 데이터셋이 대규모일 때 어떻게 효율적으로 joint posterior inference와 ML parameter learning을 수행할 수 있는가?

기존 접근법의 한계

한계	설명
Mean-field VB	기댓값의 해석적 계산을 요구 → neural network 기반 non-conjugate 모델에 적용 불가
Monte Carlo EM	데이터포인트마다 inner-loop MCMC 샘플링 → 대규모 데이터셋 적용 비실용적
Wake-Sleep (Hinton+ 1995)	생성·인식 모델에 별도의 목적함수 — marginal likelihood bound에 정확히 대응하지 않음
Score function estimator (REINFORCE)	그래디언트 분산이 지나치게 커서 안정적 학습 불가

핵심 통찰

• Sampling through differentiable transformation: 확률 분포로부터의 샘플링을 “외부 noise ε + 결정론적 변환 g_φ(ε, x)“로 분해하면, 샘플링 경로를 통과하는 gradient가 잘 정의된다.
• Amortization: 데이터포인트별 variational parameter λ_i를 따로 최적화하지 말고, 전역 신경망 φ로 “q_φ(z|x) 매핑 자체”를 학습하자.
• 통합 목적함수: Wake-Sleep의 이중 목적함수 대신, ELBO 단 하나를 θ와 φ에 대해 동시에 최적화.

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방법 (Method)

프레임워크 개요

graph TD
    X["입력 데이터 x"]

    subgraph Encoder["인코더 (Recognition Model) q_phi(z|x)"]
        E1["MLP (Tanh)"]
        E2["평균 mu(x)"]
        E3["로그분산 log sigma^2(x)"]
    end

    subgraph Reparam["Reparameterization Trick"]
        R1["epsilon ~ N(0, I)"]
        R2["z = mu + sigma * epsilon"]
    end

    subgraph Decoder["디코더 (Generative Model) p_theta(x|z)"]
        D1["MLP (Tanh)"]
        D2["재구성 x_hat (Bernoulli/Gaussian)"]
    end

    subgraph ELBO["ELBO 목적함수"]
        L1["Reconstruction: E_q[log p_theta(x|z)]"]
        L2["Regularization: -KL(q_phi || p(z))"]
        L3["L = L1 + L2 최대화"]
    end

    X --> E1
    E1 --> E2
    E1 --> E3
    E2 --> R2
    E3 --> R2
    R1 --> R2
    R2 --> D1
    D1 --> D2
    D2 --> L1
    E2 --> L2
    E3 --> L2
    L1 --> L3
    L2 --> L3
    L3 -.Backprop.-> X

핵심 구성요소

1. ELBO 유도

$$\log p_{\theta }(x)=D_{KL}(q_{\varphi }(z|x)\Vert p_{\theta }(z|x))+\mathcal{L}(\theta ,\varphi ;x)$$ $$\mathcal{L}(\theta ,\varphi ;x)={\mathbb{E}}_{q_{\varphi }(z|x)}[\log p_{\theta }(x|z)]-D_{KL}(q_{\varphi }(z|x)\Vert p_{\theta }(z))$$

KL ≥ 0이므로 L이 log marginal likelihood의 lower bound. L 최대화 ⟺ KL(q‖posterior) 최소화 + marginal likelihood 최대화.

2. Reparameterization Trick

직접 z ~ q_φ(z|x)에서 샘플링하면 ∂/∂φ E_q[f(z)]가 정의되지 않음. 대신:

$$z=g_{\varphi }(ϵ,x)={\mu }_{\varphi }(x)+{\sigma }_{\varphi }(x)\odot ϵ,ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)$$

이면 기댓값이 ε에 대한 기댓값으로 바뀌어 ∂/∂φ가 잘 정의되고 Monte Carlo로 추정 가능.

3. SGVB Estimator (Gaussian prior, Gaussian q)

$$\tilde{\mathcal{L}}(\theta ,\varphi ;x^{(i)})=\frac{1}{L}\sum _{l=1}^L\log p_{\theta }(x^{(i)}|z^{(i,l)})+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^J\left(1+\log {\sigma }_j^2-{\mu }_j^2-{\sigma }_j^2\right)$$

KL 항은 닫힌 형식(analytical). 재구성 항만 Monte Carlo로.

4. AEVB 알고리즘

repeat:
    x_M ← 미니배치 M개 샘플링 (보통 M=100)
    ε ← N(0, I) 샘플링 (데이터포인트당 L=1 샘플로 충분)
    g ← ∇_{θ,φ} (1/M) Σ L̃(θ, φ; x, ε)
    θ, φ ← Adagrad 업데이트
until 수렴

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발견 (Findings)

주요 결과

실험	지표	결과
MNIST, N_z ∈ {3, 5, 10, 20, 200}	Training ELBO (nats)	Wake-sleep 대비 모든 설정에서 우수, 특히 N_z=20에서 최대 gap (Figure 2)
Frey Face, N_z ∈ {2, 5, 10, 20}	Training ELBO	Wake-sleep 대비 우수
MNIST subset (N=1000), N_z=3	Marginal log-likelihood (HMC 기준)	AEVB > Wake-sleep > MCEM (Figure 3)
MNIST, N_z=2	2D latent manifold 시각화	10개 숫자 클래스가 연속 매니폴드로 분리 (Figure 4)
Frey Face, N_z=2	2D latent manifold	표정·포즈가 축을 따라 연속 변화

핵심 발견

• N_z를 늘려도 test likelihood 저하 없음: KL term이 암묵적 정규화 — 불필요한 유닛은 prior로 수렴하여 “자동 차원 선택” 효과.
• AEVB의 수렴 속도 우위: 동일 epoch에서 wake-sleep보다 consistently 높은 lower bound.
• Amortization 실현성 입증: 단일 MLP encoder가 전체 dataset의 사후분포 근사를 충분히 표현.

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이론적 의의

1. Reparameterization Trick — 확률적 딥러닝의 보편 도구

이 트릭은 VAE만의 기법이 아니라 확률분포를 통과하는 gradient를 얻는 일반 원리다. 이후 normalizing flow, continuous relaxation (Gumbel-Softmax), diffusion model의 noise scheduling, variational dropout, Bayesian neural network까지 모두 이 아이디어 위에서 작동한다.

2. Amortized Inference — Inference의 근본적 재개념화

전통적 VI는 “각 데이터포인트에 대해 q의 파라미터 λ_i를 최적화”했지만, VAE는 “q를 x의 함수로 학습”한다. Test 시 단일 forward pass로 latent을 얻는 것은 실용성의 도약이며, 이 개념은 Neural Processes, Meta-VAE, amortized Bayesian inference 전반으로 확장되었다.

3. ELBO = Rate-Distortion — 정보이론적 재해석

L = reconstruction − KL은 “KL=코드의 rate, reconstruction=복원의 distortion”으로 해석되며, β-VAE의 β가 rate-distortion trade-off의 Lagrangian임을 보인다 (Alemi+ 2018). 이는 representation learning과 정보이론을 잇는 다리가 됐다.

4. 현대 Diffusion의 간접적 토대

Stable Diffusion/LDM은 “사전학습된 VAE encoder로 얻은 latent space 위에서 DDPM을 돌린다.” VAE가 없었다면 diffusion model은 pixel space에서만 작동해 계산 비용이 감당 불가했을 것이다.

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재현성 및 신뢰도 평가

항목	등급	비고
코드 공개	⚠️	원 논문 당시 공식 코드 없음. 다만 수많은 3rd-party 재현체가 존재 (PyTorch/TF examples)
데이터 공개	✅	MNIST, Frey Face 모두 공개 데이터
하이퍼파라미터	✅	hidden units, lr, batch size, optimizer 모두 명시
실험 환경	⚠️	하드웨어/런타임 정보 거의 없음 (2013년 관행)
통계적 신뢰도	⚠️	다중 실행 평균·분산 제시 안 됨, 유의성 검정 없음
종합 등급	B	방법론은 완전 재현 가능, 실험 통계는 약함

주장별 신뢰도

#	주장	근거	신뢰도
1	Reparameterization trick으로 얻은 SGVB estimator는 score function estimator보다 저분산	이론적 논증 + 실험적 수렴 속도 (Figure 2)	🟢
2	AEVB가 wake-sleep보다 우수	Figure 2, 3에서 일관된 우위	🟢
3	AEVB가 MCEM보다 marginal likelihood에서 우수	Figure 3 (소규모 데이터만)	🟡 (대규모 검증 없음)
4	N_z 증가해도 과적합 없음	실험 그래프 제시	🟡 (정량 테이블 부재)
5	2D latent이 의미있는 매니폴드 학습	Figure 4 정성적	🟡 (정성적만)

읽기 난이도: ⭐⭐⭐

필요 배경지식:

• Variational inference 기초 (KL divergence, ELBO 개념)
• 확률 그래피컬 모델 (directed, latent variable)
• Bayesian 추론 (prior/posterior/marginal likelihood)
• 기본 신경망과 backprop
• Monte Carlo 방법과 gradient estimation

수식 유도가 빼곡하고 VI 용어에 익숙하지 않으면 Appendix까지 따라가기 어렵다. Doersch의 “Tutorial on VAEs” (2016)를 먼저 읽는 것을 강력 권장.

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관련 연구 비교 매트릭스

축	VAE (본 논문)	DAE (Vincent 2010)	Wake-Sleep (Hinton 1995)	GAN (Goodfellow 2014)	DDPM (Ho 2020)
핵심 접근	ELBO + reparam trick	reconstruction 복원	이중 목적함수 EM	adversarial minimax	progressive denoising
문제 정의	연속 잠재변수 생성모델링	표현학습 (discriminative)	Helmholtz machine 학습	분포 매칭 암묵적	Markov chain으로 noise→data
Latent space	확률적, 구조화 (Gaussian)	결정론적	확률적	없음 (prior noise만)	확률적 (고차원 noise)
학습 목표	Maximize ELBO	L2 reconstruction	Bounded likelihood	JS-divergence 근사	Variational bound (연결됨)
Inference	Amortized (encoder)	없음	Sleep-phase net	없음	Reverse diffusion
Gradient	Reparam (저분산)	표준 backprop	Importance sampling	Adversarial	Score matching
Sample quality	흐릿함(blurry)	N/A	낮음	날카로움, mode collapse	고품질, 느림
코드 공개	⚠️ (당시)	❌	❌	✅	✅

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관련 연구

• Denoising Diffusion Probabilistic Models — DDPM의 variational bound 유도는 VAE의 계층적 확장으로 볼 수 있다
• β-VAE (Higgins+ 2017) — KL에 β 가중치로 disentanglement
• VQ-VAE (van den Oord+ 2017) — discrete codebook으로 posterior collapse 회피
• Normalizing Flows (Rezende & Mohamed 2015) — 더 표현력 있는 posterior
• Latent Diffusion Models (Rombach+ 2022) — VAE encoder + diffusion 결합, Stable Diffusion 토대

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원자적 인사이트 (Zettelkasten)

💡 Reparameterization은 “randomness 외재화”다

출처: Auto-Encoding Variational Bayes (Kingma & Welling, 2014)
유형: 방법론적

확률변수 z ~ N(μ, σ²)에서의 기댓값 gradient를 얻으려면, z를 직접 샘플링하는 대신 z = μ + σ·ε, ε ~ N(0,1)로 분해한다. 이렇게 하면 randomness(ε)가 파라미터(μ, σ)와 분리되어 계산 그래프가 결정론적이 되고, backprop이 자연스럽게 흐른다. “확률성을 노드에서 엣지(외부 입력)로 옮기는” 발상이다.

핵심 조건/맥락: 분포가 location-scale family이거나 invertible CDF가 있을 때 항상 적용 가능. discrete 분포에는 직접 적용 불가 → Gumbel-softmax로 우회.
연결: Denoising Diffusion Probabilistic Models의 noise prediction, Normalizing Flow의 change-of-variables
활용 가능성: 모든 확률적 딥러닝 모듈의 gradient 설계에 활용

💡 Amortized Inference — Inference를 학습하라

출처: Auto-Encoding Variational Bayes (Kingma & Welling, 2014)
유형: 이론적

전통적 VI는 각 데이터포인트마다 variational parameter λ_i를 iterative optimization으로 구했다. VAE는 이 대신 “x → λ 매핑”을 신경망 φ로 학습한다. Training 시 φ의 cost를 data 전체에 amortize하고, test 시 단일 forward pass로 posterior를 얻는다.

핵심 조건/맥락: i.i.d. 가정과 충분히 표현력 있는 encoder가 필요. amortization gap(진짜 optimum과의 격차)이 존재할 수 있음.
연결: Meta-learning, Neural Processes, Bayesian deep learning
활용 가능성: 반복적 최적화가 필요한 모든 inference를 신경망으로 대체하는 설계 패턴

💡 ELBO는 Rate-Distortion이다

출처: Auto-Encoding Variational Bayes (Kingma & Welling, 2014); Alemi et al. 2018
유형: 이론적

L = E[log p(x|z)] − KL(q‖p)에서 재구성항은 “distortion”(복원 왜곡), KL항은 “rate”(latent의 정보 비용)이다. β-VAE는 β·KL로 trade-off의 Lagrangian을 조절하는 것과 같다. 따라서 representation learning은 정보이론적으로 “주어진 rate 하에서 distortion 최소화”다.

핵심 조건/맥락: β=1에서만 정확한 ELBO; β≠1은 weighted ELBO로 표준 확률 해석을 잃는다.
연결: Information Bottleneck, β-VAE, Mutual Information estimation
활용 가능성: 표현학습 알고리즘을 rate-distortion 렌즈로 통합 이해

💡 과도 파라미터화해도 KL이 알아서 정규화한다

출처: Auto-Encoding Variational Bayes (Kingma & Welling, 2014), Figure 2
유형: 실험적

잠재차원 N_z를 3에서 200까지 늘려도 test ELBO가 떨어지지 않는다. KL(q‖p) term이 불필요한 유닛의 posterior를 prior로 밀어붙여 사실상 차원을 자동 선택한다. 단점은 posterior collapse — decoder가 강력하면 KL을 0으로 만들어 latent을 무시해버린다.

핵심 조건/맥락: MLP decoder처럼 “적당히” 표현력 있는 모델에서만 자연스럽게 작동. 강력한 autoregressive decoder와 결합하면 collapse 위험 급증.
연결: β-VAE의 KL annealing, Free bits (Kingma+ 2016), VQ-VAE의 discrete trick
활용 가능성: Latent variable 모델 설계 시 차원 선택을 신경 쓰지 않아도 되는 근거

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핵심 용어 정리

용어	정의
Variational Inference (VI)	intractable posterior p(z
ELBO (Evidence Lower Bound)	log p(x) ≥ E_q[log p(x,z) − log q(z
Reparameterization Trick	확률적 샘플링 z ~ q_φ를 z = g_φ(ε, x), ε ~ p(ε)로 바꿔 gradient가 흐르게 하는 기법
SGVB (Stochastic Gradient Variational Bayes)	reparam trick을 이용한 ELBO의 미니배치-기반 저분산 gradient 추정량
AEVB (Auto-Encoding VB)	recognition model을 신경망으로 두고 SGVB로 학습하는 알고리즘 — VAE의 학습 절차
Recognition Model / Encoder	q_φ(z
Generative Model / Decoder	p_θ(x
Amortized Inference	데이터포인트마다 VI 최적화 대신, inference mapping 자체를 전역 신경망으로 학습
KL Divergence	D_KL(q‖p) = E_q[log q/p]; 두 분포 간 정보이론적 거리 (비대칭)
Wake-Sleep	Hinton+ 1995의 Helmholtz machine 학습법; 별개의 두 목적함수로 generative/recognition net 교대 학습
Posterior Collapse	KL(q‖p)가 0으로 가서 decoder가 z를 무시하는 실패 모드; 강력한 autoregressive decoder에서 심화

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태그

paper #2014 VAE GenerativeModel VariationalInference Architecture Foundational Kingma ICLR