Summary

최대·최소 정리(Extreme Value Theorem, EVT) 는 “어떤 함수가 유계 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이면, 그 구간 안 어딘가에서 절대 최댓값과 절대 최솟값을 반드시 가진다”는 정리다.
핵심은 결론이 아니라 두 가정이다: (1) 구간이 닫혀 있어야 하고(양 끝 포함), (2) 함수가 끊김 없이 연속이어야 한다. 둘 중 하나라도 빠지면 최댓값/최솟값이 사라질 수 있다.

용어 설명

• continuous (연속): 곡선을 펜을 떼지 않고 한 번에 그릴 수 있는 상태. 점프(jump)나 구멍(hole), 발산이 없음.
• closed bounded interval (유계 닫힌구간): $[a,b]$ 처럼 양 끝점 $a,b$ 를 포함하고($[]$), 길이가 유한한 구간. 반대로 $(a,b)$ 는 열린구간(open interval)이라 끝점을 포함하지 않음.
• absolute maximum / minimum (절대 최댓값 / 최솟값): 구간 전체에서 가장 큰 값 / 가장 작은 값. (특정 동네에서만 최고인 local max/min 과 구분.)
• attained (도달된다): 어떤 점 $c$ 에서 $f(c)$ 가 실제로 그 최댓값이 됨. “다가가기만” 하는 게 아니라 진짜로 찍힌다는 뜻.

Extreme Value Theorem

1. 직관

산을 그린다고 생각하자. 종이의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝을 정해 놓고(닫힌구간), 펜을 한 번도 떼지 않고(연속) 산 능선을 그린다.

그러면 반드시 가장 높은 봉우리 한 점과 가장 낮은 골짜기 한 점이 종이 안에 실제로 존재한다. 아무리 구불구불하게 그려도, “제일 높은 곳”과 “제일 낮은 곳”을 피해갈 방법이 없다.

EVT 가 말하는 건 딱 이거다: “가장 높은 값과 가장 낮은 값이 존재한다(그리고 실제로 도달된다)“. 그 값이 얼마인지, 어디서 나오는지는 알려주지 않는다. 그냥 있다는 보장만 해 준다. (이런 걸 존재 정리(existence theorem)라고 한다.)

2. 정식 진술 (가정 + 결론)

한 줄 진술

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면, $f$ 는 $[a,b]$ 에서 절대 최댓값과 절대 최솟값을 가진다.

가정 (Hypotheses):

• 함수 $f$ 가 유계 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 정의됨
• $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속(continuous)

결론 (Conclusion):

• 어떤 점 $c\in [a,b]$ 가 존재하여 모든 $x\in [a,b]$ 에 대해
  $f(c)\ge f(x)(\text{절대 최댓값})$
• 어떤 점 $d\in [a,b]$ 가 존재하여 모든 $x\in [a,b]$ 에 대해
  $f(d)\le f(x)(\text{절대 최솟값})$

즉 $f$ 의 최댓값 $M=f(c)$ 와 최솟값 $m=f(d)$ 가 실제로 어떤 점에서 도달(attained) 된다.

3. 왜 두 조건(닫힘 + 연속)이 모두 필요한가 (반례 포함)

가정이 깨지면 결론도 깨진다

EVT 는 “연속이고 닫힌구간”이라는 두 조건이 동시에 만족될 때만 보장된다. 하나라도 빠지면 최댓값/최솟값이 없을 수 있다.

반례 1 — 구간이 열려 있으면 (끝점 미포함):
$f(x)=x$ on $(0,1)$ (열린구간).
$x$ 를 $1$ 에 가깝게 보내면 값이 $1$ 에 끝없이 다가가지만, $x=1$ 은 구간에 없으므로 $1$ 에 도달하지 못한다. → 최댓값 없음. (최솟값도 $0$ 에 도달 못 해 없음.)

반례 2 — 구간이 유계가 아니면 (함수가 발산):
$f(x)=\frac{1}{x}$ on $(0,1]$.
$x\to 0^{+}$ 일 때 $f(x)\to +\infty$ 로 치솟는다. 값이 무한정 커지므로 최댓값 없음. (구간 끝 $0$ 이 빠져 있어서 생기는 문제.)

반례 3 — 함수가 불연속이면 (점프/구멍):
$g(x)=\{\begin{array}{ll}x& 0\le x<1\\ 0& x=1\end{array}\text{on }[0,1]$
구간 $[0,1]$ 은 닫혀 있지만 $x=1$ 에서 점프(불연속) 가 있다. $x$ 가 $1$ 에 다가가면 값이 $1$ 에 가까워지는데, 정작 $x=1$ 에서는 값이 $0$ 으로 뚝 떨어진다. → 값이 $1$ 에 다가가지만 도달 못 함 → 최댓값 없음.

→ 세 반례 모두, 닫힘 + 유계 + 연속이 함께 있어야 비로소 “최값이 실제로 찍힌다”는 걸 보여준다.

4. 예시 (그림 / 숫자)

$f(x)=-x^2+4x$ on $[0,3]$. (위로 볼록한 포물선, 연속, 닫힌구간 → EVT 적용 OK.)

 y
 4 |        * * *          ← 최댓값 f(2)=4 (꼭짓점, attained)
 3 |      *       *
 2 |    *           *
 1 |  *
 0 |*_______________*___  x
   0   1   2   3
      ↑           ↑
   끝점 f(0)=0   끝점 f(3)=3
   = 최솟값(attained)

• 절대 최댓값: $f(2)=4$ (구간 안쪽의 임계점에서)
• 절대 최솟값: $f(0)=0$ (왼쪽 끝점에서)

후보는 임계점 $x=2$ 와 끝점 $x=0,x=3$ 뿐. 값을 비교하면 $f(0)=0,f(2)=4,f(3)=3$ → 최댓값 $4$, 최솟값 $0$.

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

쓰임:

• 최적화(optimization)의 토대. EVT 가 “최값이 존재한다”고 보장해 주기 때문에, 닫힌구간에서 최값을 찾을 때는 임계점(critical points, $f^{\prime }=0$ 또는 $f^{\prime }$ 정의 안 됨)과 끝점(endpoints) 의 함숫값만 비교하면 된다. 이게 바로 닫힌구간 방법(Closed Interval Method).
• 롤의 정리(Rolle’s Theorem), 평균값 정리(MVT) 의 증명이 EVT 위에 세워진다.

흔한 함정

• “연속이면 무조건 최값이 있다” ✗ — 구간이 닫혀 있어야 한다. 열린구간/무한구간에서는 보장 안 됨.
• “EVT 가 최값을 구해 준다” ✗ — EVT 는 존재만 보장(존재 정리). 실제 값/위치는 직접 계산해야 함.
• 끝점 검사를 빼먹기 — 닫힌구간 문제에서 최값이 끝점에서 나오는 경우가 매우 흔하다. 임계점만 보지 말 것.
• 역은 성립하지 않음 — 최값이 있다고 해서 함수가 연속이거나 구간이 닫혀 있는 건 아니다.

6. 30초 요약

• 이름: 최대·최소 정리 / 최댓값 정리 = Extreme Value Theorem (EVT)
• 가정: $f$ 가 유계 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속
• 결론: $[a,b]$ 안에서 절대 최댓값과 절대 최솟값을 반드시 (도달하여) 가진다
• 두 조건 다 필수: 열린구간 → 최값 없을 수 있음 / 불연속 → 최값 없을 수 있음
• 실전: 닫힌구간 최값 = 임계점 + 끝점 함숫값만 비교 (Closed Interval Method)
• 성격: 존재 정리 — “있다”만 보장, 값은 직접 계산
• 교과서: Stewart, §4.1 Maximum and Minimum Values

관련 노트

• Calculus Theorems (index)
• Intermediate Value Theorem
• Rolle’s Theorem