Summary

미적분의 기본정리(FTC)는 미분(derivative)과 적분(integral)이 서로 정반대로 되돌리는 연산임을 말해준다. 즉, “넓이를 쌓는 일”과 “기울기를 재는 일”이 동전의 양면이라는 뜻이다. 덕분에 복잡한 넓이(정적분)를 역도함수만 찾으면 빼기 한 번으로 구할 수 있다.

용어 설명

• antiderivative (역도함수 / 부정적분): 미분하면 $f$가 되는 함수 $F$. 즉 $F^{\prime }=f$.
• definite integral (정적분): ${\int }_a^{b}f(x)dx$. 구간 $[a,b]$에서 곡선 아래의 (부호 있는) 넓이.
• accumulation function (누적함수): $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$. 시작점 $a$부터 $x$까지 넓이를 계속 “쌓아 모은” 함수.
• continuous (연속): 그래프가 끊기지 않고 이어진 상태. FTC가 성립하기 위한 핵심 전제.

Fundamental Theorem of Calculus

1. 직관 (미분 ↔ 적분은 서로 되돌리는 연산)

물탱크에 물이 흘러 들어간다고 상상해 보자.

• $f(t)$ = 매 순간 물이 들어오는 속도 (초당 몇 리터).
• $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ = $a$부터 $x$까지 쌓인 물의 총량.

여기서 두 가지 당연한 사실이 나온다.

1. 쌓인 물의 양 $g$가 “변하는 빠르기”는, 바로 지금 들어오는 속도 $f$와 같다. → 쌓기(적분)를 미분하면 원래 속도가 나온다. (Part 1)
2. 어느 구간 동안 들어온 물의 총량은 “끝의 누적량 − 시작의 누적량”이다. → 빼기 한 번으로 넓이가 구해진다. (Part 2)

이것이 미분과 적분이 서로의 역연산(inverse operation)이라는 말의 핵심이다.

2. 정식 진술 — Part 1과 Part 2 둘 다

$f$가 $[a,b]$에서 연속(continuous) 이라고 하자.

Part 1 (미분 형태, Differentiation):

$g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt⟹g^{\prime }(x)=f(x),x\in (a,b)$

즉, 넓이를 쌓는 함수 $g$는 미분가능하고, 미분하면 원래 함수 $f$가 그대로 나온다.

Part 2 (계산 형태, Evaluation):

$F$가 $f$의 역도함수($F^{\prime }=f$)이면,

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

즉, 정적분은 역도함수의 양 끝값을 빼기만 하면 된다. (흔히 $[F(x){]}_a^b$ 로 표기)

3. 왜 성립하나 (넓이의 변화율 = 함숫값)

Part 1의 직관: $g(x)$는 $a$부터 $x$까지의 넓이다. $x$를 아주 조금($h$만큼) 늘리면, 새로 추가된 넓이는 거의 “높이 $f(x)$ × 너비 $h$“인 가느다란 직사각형이다.

$g(x+h)-g(x)\approx f(x)\cdot h⟹\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\approx f(x)$

$h\to 0$으로 보내면 좌변은 정의상 $g^{\prime }(x)$이므로 $g^{\prime }(x)=f(x)$. “누적 넓이가 늘어나는 속도 = 그 순간의 함숫값” 이라는 그림이다.

Part 2는 Part 1의 결과다: $g$도 $f$의 역도함수이므로 임의의 역도함수 $F$와는 상수만큼만 차이가 난다($F=g+C$). 그러면

$F(b)-F(a)=g(b)-g(a)={\int }_a^{b}f-{\int }_a^{a}f={\int }_a^{b}f(x)dx.$

4. 예시 (구체적 계산)

Part 2로 넓이 계산:

${\int }_0^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{8}{3}$

($x^2$의 역도함수는 $\frac{x^3}{3}$. 양 끝값을 빼면 끝.)

Part 1로 미분:

$\frac{d}{dx}{\int }_0^x\sin tdt=\sin x$

(쌓기를 미분하면 적분기호가 사라지고 상한 $x$를 넣은 함숫값만 남는다.)

상한이 함수일 때 (연쇄법칙 동반)

상한이 그냥 $x$가 아니라 $x^2$ 같은 함수면 연쇄법칙(chain rule)이 따라붙는다.
$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\sin tdt=\sin (x^2)\cdot 2x$
“상한에 함수 대입한 함숫값 × 그 함수의 미분”으로 기억하자.

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

쓰임:

• 정적분(넓이)을 역도함수로 “계산” 할 수 있게 해주는 다리(bridge). 직접 넓이를 무한히 잘게 더하지 않아도 된다.
• 미분의 세계와 적분의 세계를 하나로 묶는, 미적분 전체의 심장.

흔한 함정

• 연속성 전제: $f$가 적분 구간에서 연속이어야 한다. 중간에 끊기면 그대로 못 쓴다.
• 변수 구분: 적분 변수 $t$(더미 변수)와 상한 변수 $x$를 헷갈리지 말 것. ${\int }_a^{x}f(t)dt$에서 결과는 $x$의 함수다.
• 상한이 함수면 연쇄법칙: 위 [!tip] 참고. 상한을 $x$로 착각하고 $\times$(상한의 미분)을 빼먹는 실수가 잦다.

6. 30초 요약

• 이름: 미적분의 기본정리 (Fundamental Theorem of Calculus, FTC).
• Part 1: $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\Rightarrow g^{\prime }(x)=f(x)$. “넓이 쌓기를 미분하면 원래 함수.”
• Part 2: $F^{\prime }=f\Rightarrow {\int }_a^{b}fdx=F(b)-F(a)$. “역도함수의 끝값 빼기.”
• 핵심 한 줄: 이 정리가 미분과 적분이라는 두 세계를 하나로 묶는다. (선적분의 기본정리 / 그린·스토크스·발산 정리는 이 아이디어의 일반화)
• 전제는 $f$의 연속성, 상한이 함수면 연쇄법칙 동반.
• 교과서: Stewart, §5.3 The Fundamental Theorem of Calculus.

관련 노트

• Calculus Theorems (index)
• Mean Value Theorem
• Fundamental Theorem for Line Integrals