Summary

벡터공간(vector space)은 벡터를 더하거나 숫자배(스칼라배)를 해도 그 결과가 여전히 같은 세계 안에 남는 “안전한 놀이터”다. 부분공간(subspace)은 그 놀이터 안의 더 작은 놀이터인데, 똑같은 규칙(닫혀 있음)을 그대로 지키는 부분집합이다. 어떤 집합이 부분공간인지 확인하려면 딱 3가지 — 영벡터 포함, 덧셈에 닫힘, 스칼라배에 닫힘 — 만 보면 된다.

용어 설명

• vector space (벡터공간): 덧셈과 스칼라배가 정의되어 있고, 그 연산이 8개 공리를 만족하는 집합.
• subspace (부분공간): 벡터공간의 부분집합이면서, 그 자체로도 벡터공간이 되는 것.
• closure (닫혀 있음): 안에 있는 원소끼리 연산해도 결과가 여전히 그 안에 있는 성질.
• axiom (공리): 증명 없이 “이건 참이라고 약속”하고 출발하는 기본 규칙.
• scalar (스칼라): 벡터에 곱하는 그냥 숫자(실수 $\mathbb{R}$ 등).
• zero vector (영벡터, $0$): 더해도 아무 변화를 안 주는 벡터.
• linear combination (일차결합): 여러 벡터에 숫자를 곱해서 더한 것, 예: $a\mathbf{u}+b\mathbf{v}$.

Vector Spaces and Subspaces

1. 직관

레고 블록 세트를 상상하자. “이 세트 안의 블록끼리는 어떻게 조립해도 여전히 이 세트의 작품”이라는 규칙이 있다고 하자. 벡터공간(vector space)이 딱 이런 느낌이다. 벡터를 더하거나, 숫자배(스칼라배) 를 해도 결과물이 절대 세계 밖으로 튀어나가지 않는다. 이걸 “닫혀 있다(closure)“고 부른다.

부분공간(subspace)은 이 큰 놀이터 안에 그려 놓은 더 작은 동그라미다. 단, 그 동그라미 안에서 더하고 숫자배 해도 여전히 동그라미 안에 머물러야 한다. 그래야 “작지만 똑같은 규칙을 지키는 놀이터” 자격이 생긴다.

2. 정식 정의 (벡터공간 공리 요지 + 부분공간 정의)

집합 $V$가 벡터공간이려면, 덧셈 $+$ 과 스칼라배가 정의되고 다음 8개 공리를 만족해야 한다 (스칼라 $a,b$, 벡터 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$):

• 덧셈 교환: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
• 덧셈 결합: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
• 덧셈 항등원: $0$ 가 존재해 $\mathbf{v}+0=\mathbf{v}$
• 덧셈 역원: 각 $\mathbf{v}$ 마다 $-\mathbf{v}$ 가 존재해 $\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=0$
• 스칼라배 항등원: $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$
• 스칼라배 결합: $a(b\mathbf{v})=(ab)\mathbf{v}$
• 분배 법칙 1: $a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}$
• 분배 법칙 2: $(a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}$

부분공간 정의: $W\subseteq V$ 가 $V$ 의 부분공간이라는 것은, $W$ 가 $V$ 의 부분집합이면서 $V$ 와 같은 연산으로 그 자체가 벡터공간이 되는 것이다. 다행히 공리 8개를 다 확인할 필요는 없다 (대부분 $V$ 에서 물려받기 때문). 아래 3조건만 보면 충분하다.

3. 부분공간 판정법 (3조건)

$W$ 가 부분공간인지 보려면:

1. 영벡터 포함: $0\in W$
2. 덧셈에 닫힘: $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$
3. 스칼라배에 닫힘: $\mathbf{v}\in W,a\in \mathbb{R}\Rightarrow a\mathbf{v}\in W$

세 조건을 합치면 결국 한 문장이다: $W$ 는 일차결합(linear combination)에 닫혀 있다. 즉 $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W$ 이면 $a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\in W$.

Tip

실전에서는 보통 조건 2, 3을 합쳐 ”$a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\in W$ 인가?” 하나만 검사하고, 영벡터 포함은 빠르게 따로 확인한다. 영벡터 확인이 가장 빠른 탈락 테스트다 — $0$ 가 없으면 즉시 부분공간 아님.

4. 예시

• ${\mathbb{R}}^n$ 자체는 벡터공간이다 (가장 기본).
• ${\mathbb{R}}^2$ 에서 원점을 지나는 직선 $\{(x,y):y=2x\}$ 는 부분공간이다. $0=(0,0)$ 포함, 직선 위 두 점을 더하거나 늘려도 같은 직선 위.
• ${\mathbb{R}}^3$ 에서 원점을 지나는 평면 도 부분공간이다.
• 반대로 $\{(x,y):y=2x+1\}$ 처럼 원점을 안 지나는 직선 은 부분공간이 아니다. $(0,0)$ 를 대입하면 $0=1$ 이 되어 거짓 → 영벡터 미포함.
• 함수공간(연속함수 전체), 다항식공간($P_n$, 차수 $\le n$ 다항식)도 벡터공간이다. 함수도 더하고 숫자배 할 수 있으니까.

Warning

“원점을 안 지나면 부분공간이 아니다”가 가장 흔한 함정이다. 직선·평면이 아무리 곧게 뻗어 있어도 $0$ 를 품지 않으면 탈락. 또 하나: 1사분면처럼 “스칼라배에 안 닫힌” 영역도 탈락 ($a<0$ 곱하면 밖으로 나감).

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

• 해집합(solution set): $A\mathbf{x}=0$ 의 모든 해는 부분공간이다 (영공간, null space). 단, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ($\mathbf{b}\ne 0$)의 해집합은 $0$ 를 안 가지므로 부분공간이 아니다.
• 열공간(column space): 행렬 열들의 일차결합 전체 → 부분공간.
• 영공간(null space): 위에서 말한 $A\mathbf{x}=0$ 의 해 → 부분공간.
• 함정 정리: ① 영벡터 빼먹고 통과시키기, ② 한 점만 확인하고 “닫힘” 단정하기(반례 하나면 탈락), ③ $\mathbf{b}\ne 0$ 인 비제차 방정식의 해를 부분공간으로 착각.

6. 30초 요약

• 벡터공간 = 더하기·숫자배에 닫힌 집합 + 8개 공리.
• 부분공간 = 큰 벡터공간 안의, 같은 규칙 지키는 부분집합.
• 판정 3조건: $0$ 포함 / 덧셈 닫힘 / 스칼라배 닫힘 = 일차결합에 닫힘.
• 원점 지나는 직선·평면은 부분공간, 안 지나면 아님.
• 영공간·열공간·제차방정식 해집합은 부분공간, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$($\mathbf{b}\ne 0$) 해집합은 아님.
• 출처: Strang, Introduction to Linear Algebra, Ch 3.

관련 노트

• Linear Algebra Concepts (index)
• Span and Linear Combination
• Linear Independence, Basis, and Dimension