Summary

CDF(누적분포함수) 는 “어떤 값 x보다 작거나 같을 확률이 얼마인가?”를 알려주는 함수다. $F(x)=P(X\le x)$. 키가 작은 사람부터 줄을 세웠을 때 “x cm 이하인 사람이 전체의 몇 %인가”를 누적해서 보여준다고 생각하면 된다.

용어 설명

• 표본공간 (Sample space, $\Omega$): 일어날 수 있는 모든 결과의 집합. 예) 주사위는 $\{1,2,3,4,5,6\}$
• 사건 (Event, A): 표본공간의 부분집합. 우리가 관심 있는 결과들의 묶음. 예) “짝수가 나옴” = $\{2,4,6\}$
• 확률 (Probability, P): 각 사건에 0과 1 사이 숫자를 매기는 규칙. “얼마나 그럴듯한가”
• 확률변수 (Random variable, X): 각 결과를 숫자로 바꿔주는 함수. 예) 동전 앞면→1, 뒷면→0
• CDF (Cumulative Distribution Function, 누적분포함수): $F(x)=P(X\le x)$. x까지 확률을 쌓아 올린(누적) 값
• PDF/PMF (확률밀도함수 / 확률질량함수): 한 지점의 확률 “양”. CDF는 이걸 왼쪽부터 다 더한 것
• 점 질량 (Point mass): 한 값에 확률이 콕 찍혀 있는 경우. 예) “정확히 2가 나올 확률 0.5”
• right-continuous (오른쪽 연속): 오른쪽에서 다가가면 함숫값과 매끄럽게 이어지는 성질
• 비감소 (Non-decreasing): 절대 내려가지 않고 평평하거나 올라가기만 하는 성질

CDF (Cumulative Distribution Function)

0. 기초 다지기: 표본공간 → 사건 → 확률 → 확률변수

CDF를 이해하려면 먼저 그 밑에 깔린 4개의 벽돌을 알아야 한다. 주사위 하나로 전부 설명해 보자.

(1) 표본공간 (Sample space, $\Omega$)

일어날 수 있는 모든 결과를 한 자루에 담은 집합.

주사위를 한 번 굴리면 나올 수 있는 결과는 1, 2, 3, 4, 5, 6. 이 전부를 모은 게 표본공간이다.

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

세상에 일어날 수 있는 모든 경우를 미리 적어둔 “전체 목록”이라고 보면 된다.

(2) 사건 (Event, A)

표본공간에서 우리가 관심 있는 결과들만 골라낸 묶음 (= 부분집합).

“짝수가 나오면 좋겠다”라고 하면, 관심 있는 결과는 2, 4, 6이다. 이 묶음이 하나의 사건이다.

$A=\{2,4,6\}(\text{"짝수가 나옴"})$

• 결과 하나하나(예: “3이 나옴”)도 사건이고,
• 여러 개 묶음(“짝수”)도 사건이고,
• 아무것도 없는 것($\varnothing$)이나 전체($\Omega$)도 사건이다.

(3) 확률 (Probability, P)

각 사건에 “얼마나 그럴듯한가”를 0~1 숫자로 매기는 규칙.

공정한 주사위라면 “짝수가 나올” 확률은

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{3}{6}=0.5$

확률 P는 아무 숫자나 매기면 안 되고, 다음 세 가지 약속(Kolmogorov의 공리, axioms) 을 지켜야 한다.

1. 0 이상 : 어떤 사건도 $P(A)\ge 0$ (음수 확률은 없다)
2. 전체는 1 : $P(\Omega )=1$ (무슨 일이든 하나는 반드시 일어난다)
3. 겹치지 않으면 더하기 : 서로 안 겹치는 사건들은 확률을 그냥 더하면 된다.
   예) $P(\{2\}\cup \{4\})=P(\{2\})+P(\{4\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

이 세 약속만 지키면 “확률”이라고 부를 자격이 있다.

(4) 확률변수 (Random variable, X)

결과(눈, 앞/뒤 같은 것)를 숫자로 바꿔주는 함수.

표본공간의 결과가 항상 숫자인 건 아니다. 동전은 “앞/뒤”라 더하거나 평균 낼 수 없다. 그래서 결과를 숫자로 번역하는 함수가 필요한데, 그게 확률변수다.

$X(\text{앞})=1,X(\text{뒤})=0$

이제 $X$는 숫자라서 "$X\le x$" 같은 비교가 가능해지고, 바로 여기서 CDF가 등장한다.

$F(x)=P(X\le x)$

즉 CDF란 “확률변수가 x 이하가 되는 사건의 확률”이다. → 4개 벽돌(표본공간·사건·확률·확률변수)이 전부 모여야 비로소 CDF 한 줄이 완성된다.

표본공간 Ω ──(고른다)──▶ 사건 A ──(P로 잰다)──▶ 확률 P(A)
   결과들                 부분집합              0~1 숫자
     │
     └──(숫자로 번역)──▶ 확률변수 X ──▶ {X ≤ x}도 사건 ──▶ F(x)=P(X≤x) = CDF

1. CDF가 대체 뭔가?

키 줄 세우기를 떠올려 보자. 운동장에 사람들이 키 순서대로 서 있다. 여기서 이렇게 물어볼 수 있다.

“키가 150cm 이하인 사람은 전체의 몇 %일까?”

이 질문에 답하는 함수가 바로 CDF다.

$F(x)=P(X\le x)$

• $X$ : 한 사람의 키 (아직 누구를 뽑을지 모르니 확률변수)
• $F(150)$ : 키가 150 이하일 확률 (= 그런 사람의 비율)

x를 점점 키우면 “이하”에 들어오는 사람이 계속 늘어난다. 그래서 CDF는 절대 내려가지 않는다(비감소). 왼쪽 끝에서는 0(아무도 없음), 오른쪽 끝에서는 1(전부 포함)로 간다.

F(x)
1.0 |                    ___________
    |               ____/
0.5 |          ____/
    |      ___/
0.0 |_____/
    └─────────────────────────────  x
       (왼쪽 끝 = 0,  오른쪽 끝 = 1)

2. CDF가 갖춰야 할 성질

어떤 함수가 진짜 CDF가 되려면 다음 4가지를 만족해야 한다.

1. 비감소 (Non-decreasing) — 올라가거나 평평할 뿐, 내려가지 않는다.
2. ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$ — 한참 왼쪽에서는 0.
3. ${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$ — 한참 오른쪽에서는 1.
4. right-continuous (오른쪽 연속) — 오른쪽에서 다가가면 끊김 없이 이어진다.

1~3번은 직관적이다. 문제는 4번. 왜 하필 “오른쪽” 연속일까?

3. 핵심 질문: 왜 right-continuous인가?

한 줄 정답

정의에 들어있는 부등호 ≤ (이하) 때문이다. ≤는 끝점 x를 포함하고, 이 “끝점 포함”이 그대로 오른쪽 연속으로 번역된다.

점프(jump)가 있는 예로 직관 잡기

확률변수 $X$가 정확히 2라는 값을 확률 0.5로 갖는다고 하자 (2에 점 질량이 있는 경우). 이 CDF를 그리면 2에서 계단처럼 점프한다.

F(x)
1.0 |              ●─────────
    |              |
0.5 |       ○──────┘     ← x=2에서 점프!
    |       |
0.0 |───────┘
    └───────┴──────────────  x
            2

이때 진짜 헷갈리는 질문은 이거다.

“점프하는 자리 x=2에서, 함숫값은 위쪽(●)일까 아래쪽(○)일까?”

≤ 정의를 따라가 보자.

• $F(2)=P(X\le 2)$ → “2 이하”는 2 자신을 포함 → 2의 질량 0.5가 들어옴 → 위쪽 ●
• 왼쪽에서 다가가면 ($x\to 2^{-}$): 아직 2를 안 만났으니 $P(X<2)=0$ → 아래쪽 ○
• 오른쪽에서 다가가면 ($x\to 2^{+}$): 값이 $F(2)$와 딱 맞음 → 매끄럽게 이어짐

→ 점프점에서 함숫값이 위쪽 점에 붙어 있다. 그래서 오른쪽에서 다가올 때만 매끄럽게 연결된다. 이게 바로 오른쪽 연속이고, 왼쪽은 불연속이다.

구간으로 한 번 더 (조금 더 깊게)

CDF는 구간 $(-\infty ,x]$의 확률이다. 여기서 오른쪽 괄호가 닫힌 괄호 ] 라는 점이 열쇠다.

• 오른쪽에서 x를 2로 좁혀오면:
  $(-\infty ,2.1],(-\infty ,2.01],\dots$ → 교집합이 정확히 $(-\infty ,2]$ (끝점 포함)
  → 확률이 $F(2)$로 매끄럽게 수렴 ✅ 오른쪽 연속
• 왼쪽에서 x를 2로 올려오면:
  $(-\infty ,1.9],(-\infty ,1.99],\dots$ → 합집합이 $(-\infty ,2)$ (끝점 빠짐)
  → $P(X<2)$로만 수렴, 2의 질량을 놓침 ❌ 왼쪽 불연속

≤ 덕분에 구간이 오른쪽에서 닫혀 있고, 그래서 연속성도 오른쪽에서만 살아난다.

4. 왜 이걸 “조건”으로 못 박나?

right-continuous는 두 가지 얼굴이 있다.

1. 정의가 $P(X\le x)$일 때 → 오른쪽 연속은 저절로 따라오는 정리다 (확률의 “위로부터의 연속성” 결과). 그냥 공짜로 성립.
2. 거꾸로 “어떤 함수가 CDF가 될 수 있나”를 규정할 때 → 조건으로 박아 둔다. 이유는 점프점에서의 값을 단 하나로 못 박기 위해서. 오른쪽 연속을 안 걸면 점프점 값을 위쪽이든 아래쪽이든 아무거나 골라도 되어, 같은 분포를 나타내는 CDF가 여러 개 생긴다. 오른쪽 연속이 이 모호함을 제거한다.

만약 정의를 바꾼다면?

CDF를 $P(X<x)$ (미만)로 정의하면 모든 게 정확히 대칭으로 뒤집혀서 left-continuous(왼쪽 연속) 가 된다. 즉 right-continuous는 자연 법칙이 아니라, “이하($\le$)를 쓴다”는 관례에서 따라오는 결과다.

5. 30초 요약

• CDF $F(x)=P(X\le x)$ : x까지 확률을 누적한 값. 0에서 시작해 1로 올라감.
• 항상 비감소, 끝점에서 0과 1.
• right-continuous인 이유: 정의의 ≤가 끝점을 포함 → 점프점에서 값이 위쪽에 붙음 → 오른쪽에서만 매끄럽게 이어짐.
• <로 정의했다면 정확히 반대로 왼쪽 연속이 됐을 것.

관련 노트

• Probability Distribution Representations (PMF, PDF, CDF)
• i.i.d. (Independent and Identically Distributed)
• Confidence Interval
• t-test