Summary

하나의 확률분포(distribution) 를 표현하는 방법은 여러 가지다. 대표적으로 PMF(이산, 점의 확률), PDF(연속, 점의 밀도), CDF(이산·연속 공통, 누적 확률)가 있다. 셋은 같은 분포를 다른 각도에서 본 것이며, 서로 변환된다. “probability function”이라는 말은 보통 PMF만 가리키므로, 셋을 묶을 때는 “분포를 표현하는 함수들” 로 보는 게 정확하다.

용어 설명

• 분포 (Distribution): 어떤 값이 얼마나 그럴듯한지를 나타내는 규칙. 이 규칙을 적는 방법이 PMF·PDF·CDF
• PMF (Probability Mass Function, 확률질량함수): $p(x)=P(X=x)$. 이산 RV에서 한 점의 확률
• PDF (Probability Density Function, 확률밀도함수): $f(x)$. 연속 RV에서 한 점의 밀도(확률 아님)
• CDF (Cumulative Distribution Function, 누적분포함수): $F(x)=P(X\le x)$. 모든 RV에서 누적 확률
• 이산 / 연속 (Discrete / Continuous): 값이 띄엄띄엄(주사위 눈) vs 끊김 없이 이어짐(키, 시간)
• 밀도 (Density): “단위 길이당 확률”. 확률이 아니라 적분해야 확률이 됨

Probability Distribution Representations (PMF, PDF, CDF)

0. 왜 표현이 여러 개일까?

확률분포(distribution)는 하나인데, 그걸 적는 방법이 여러 가지다. 같은 사람을 정면·측면·위에서 찍은 사진처럼, PMF·PDF·CDF는 같은 분포를 다른 각도에서 본 것이다.

핵심 갈림길은 확률변수가 이산이냐 연속이냐다.

• 이산(discrete): 값이 띄엄띄엄 (주사위 1~6, 동전 앞/뒤) → 점의 확률 = PMF
• 연속(continuous): 값이 끊김 없이 이어짐 (키, 무게, 시간) → 점의 밀도 = PDF
• 누적(cumulative): 둘 다 공통으로 “이하일 확률” → CDF

1. 세 함수 한눈에 비교

	PMF	PDF	CDF
정의	$p(x)=P(X=x)$	$f(x)$ (밀도)	$F(x)=P(X\le x)$
질문	”딱 x일 확률?"	"x 근처의 밀도?"	"x 이하일 확률?”
누구에게	이산만	연속만	모든 RV (이산·연속·혼합)
값의 의미	확률 그 자체 (0-1)	밀도 (1 넘을 수 있음, 확률 아님)	누적 확률 (0-1)
확률 구하기	값 그대로	적분(넓이) ${\int }_a^{b}fdx$	두 CDF 차 $F(b)-F(a)$
모양	막대기들	매끄러운 곡선	이산=계단, 연속=매끄러운 곡선
전체 합	${\sum }_{x}p(x)=1$	${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$	$F(\infty )=1$

2. 각 함수의 정의와 직관

(1) PMF — 이산, “딱 그 값일 확률”

$p(x)=P(X=x),{\sum }_{x}p(x)=1$

• 주사위: $p(1)=p(2)=\cdots =p(6)=\frac{1}{6}$
• 값 자체가 확률이라 바로 0~1 사이 숫자.
• 이산에서만 의미 있음.

(2) PDF — 연속, “한 점의 밀도”

$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx,{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

PDF 값은 확률이 아니다

$f(x)$는 “확률”이 아니라 밀도(단위 길이당 확률) 다. 그래서 1보다 클 수도 있다. 확률은 항상 구간의 넓이(적분) 로만 나온다. → 한 점은 폭 0이라 넓이 0, 즉 $P(X=x)=0$.

(3) CDF — 공통, “이하일 확률을 누적”

$F(x)=P(X\le x)$

• 0에서 시작해 1로 올라감, 항상 비감소(non-decreasing), right-continuous.
• 이산·연속·혼합 무엇이든 정의됨 → 가장 보편적인 표현.
• 자세히: CDF (Cumulative Distribution Function)

3. 핵심: 연속 RV에서는?

자주 나오는 시험·면접 질문

“연속 RV에 PMF와 CDF 둘 다 정의되나?” → CDF는 됨, PMF는 안 됨.

• 연속에서는 $P(X=x)=0$ (가능한 값이 무한히 많아 한 점 확률이 0으로 짜부라짐).
• → PMF를 만들어 봤자 모든 점에서 0이라 무의미 → PMF의 자리를 PDF가 대신.
• 반면 CDF는 “이하일 확률”이라 연속에서도 멀쩡히 정의됨 (매끄러운 곡선).

RV 종류	점의 함수	누적 함수
이산	PMF ✅	CDF (계단) ✅
연속	PMF ❌ → PDF ✅	CDF (곡선) ✅

4. 셋은 서로 변환된다

CDF가 가운데 허브 역할을 한다.

        누적(합/적분)                    내려보기
  PMF ───────────────▶ CDF        PDF ───────────────▶ CDF
       F(x)=Σ p(k)                     F(x)=∫ f(t)dt
        k≤x                                -∞→x

        점프 크기                        미분
  CDF ───────────────▶ PMF        CDF ───────────────▶ PDF
   p(x)=F(x)−F(x⁻)                     f(x)=F'(x)

방향	이산	연속
점함수 → CDF	$F(x)={\sum }_{k\le x}p(k)$ (누적합)	$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$ (적분)
CDF → 점함수	$p(x)=F(x)-F(x^{-})$ (점프 크기)	$f(x)=F^{\prime }(x)$ (미분)

5. 30초 요약

• 하나의 분포를 적는 세 가지 방법: PMF(이산 점확률)·PDF(연속 밀도)·CDF(누적).
• PMF↔이산, PDF↔연속, CDF는 모두에게 정의됨 → 가장 보편적.
• 연속 RV: $P(X=x)=0$이라 PMF 대신 PDF, 확률은 적분(넓이) 으로.
• 셋은 CDF를 허브로 서로 변환된다 (누적합/적분 ↔ 점프/미분).
• 우산 이름: “probability function”은 보통 PMF만 뜻함 → 셋은 “분포를 표현하는 함수들” 로 묶는 게 정확.

관련 노트

• CDF (Cumulative Distribution Function)
• i.i.d. (Independent and Identically Distributed)
• Confidence Interval