Eta-squared

Summary

ANOVA에서 독립변수가 종속변수 분산의 몇 %를 설명하는지 나타내는 effect size. η²는 전체 분산 대비, partial η²는 오차 분산 대비 비율이다.

용어 설명

• SS (Sum of Squares, 제곱합): 각 값과 평균의 차이를 제곱해서 합산한 값. 변동(variation)의 크기를 나타냄
  • $S{S}_{\text{between}}$ (집단 간 제곱합): 집단 평균들 간의 차이로 인한 변동
  • $S{S}_{\text{error}}$ (집단 내 제곱합): 같은 집단 안에서 개인들 간의 차이로 인한 변동
  • $S{S}_{\text{total}}$ (전체 제곱합): $S{S}_{\text{between}}+S{S}_{\text{error}}$
• MS (Mean Square, 평균 제곱): SS를 자유도(df)로 나눈 값 = 분산의 추정치
• 분산 설명 비율: 전체 변동 중 독립변수가 “설명”하는 부분의 비율. η² = 0.10이면 10%를 설명

Eta-squared (η²)

수식

η² (Eta-squared)

${\eta }^2=\frac{S{S}_{\text{between}}}{S{S}_{\text{total}}}$

수식 변수 풀이

• $S{S}_{\text{between}}$: 집단 간 제곱합 — 집단 평균들이 전체 평균에서 벗어난 정도 (독립변수의 효과)
• $S{S}_{\text{total}}$: 전체 제곱합 — 모든 데이터의 총 변동량 ($S{S}_{\text{between}}+S{S}_{\text{error}}$)
• 직관: “전체 변동 중 집단 차이가 차지하는 비율이 얼마인가?”

• 독립변수가 전체 분산의 몇 %를 설명하는가
• 0 ≤ η² ≤ 1
• 단점: 요인이 여러 개일 때 과대추정 (모든 요인의 η² 합 ≤ 1)

Partial η² (Partial Eta-squared)

${\eta }_p^2=\frac{S{S}_{\text{effect}}}{S{S}_{\text{effect}}+S{S}_{\text{error}}}$

수식 변수 풀이

• $S{S}_{\text{effect}}$: 관심 있는 특정 요인의 제곱합 (예: 교수법 효과)
• $S{S}_{\text{error}}$: 오차 제곱합 — 설명되지 않는 변동
• η²와의 차이: 분모에 $S{S}_{\text{total}}$ 대신 $S{S}_{\text{effect}}+S{S}_{\text{error}}$를 사용하여 다른 요인의 영향을 배제

• 다른 요인의 효과를 제거한 후 해당 요인의 설명 비율
• Factorial ANOVA에서 표준적으로 보고됨
• 주의: partial η²는 합이 1을 초과할 수 있음

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해석 기준 (Cohen, 1988)

η² / partial η²	해석
0.01	Small
0.06	Medium
0.14	Large

구체적 해석

η² = 0.10이면, 종속변수 분산의 **10%**가 집단 간 차이로 설명된다.
나머지 90%는 개인 차이, 오차 등 다른 요인에 의한 것.

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Omega-squared (ω²): 편향 보정

η²는 모집단 effect size를 과대추정하는 경향이 있다. ω²는 이를 보정:

${\omega }^2=\frac{S{S}_{\text{between}}-d{f}_{\text{between}}\cdot M{S}_{\text{error}}}{S{S}_{\text{total}}+M{S}_{\text{error}}}$

수식 변수 풀이

• $d{f}_{\text{between}}$: 집단 간 자유도 = 집단 수 − 1
• $M{S}_{\text{error}}$: 오차의 평균 제곱 = $S{S}_{\text{error}}/d{f}_{\text{error}}$
• 보정 원리: 분자에서 $d{f}_{\text{between}}\cdot M{S}_{\text{error}}$를 빼서 우연에 의한 분산을 제거 → η²보다 보수적

• 편향이 적어 모집단 추정에 더 적합
• 보고 빈도는 partial η²보다 낮지만, meta-analysis에서 선호

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η² vs R² vs ω²

지표	맥락	편향
η²	ANOVA	과대추정 (특히 소표본)
partial η²	Factorial ANOVA	각 요인별 독립적
ω²	ANOVA (모집단 추정)	편향 보정
R²	회귀 분석	adjusted R²로 보정 가능

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ANOVA 표에서의 위치

Source	SS	df	MS	F	p	η²	partial η²
Group	120	2	60	15.0	.001	.50	.56
Error	96	24	4
Total	216	26

${\eta }^2=\frac{120}{216}=0.556,{\eta }_p^2=\frac{120}{120+96}=0.556$

(One-way ANOVA에서는 η² = partial η²)

Implementation

import pingouin as pg
 
# One-way ANOVA with effect size
aov = pg.anova(data=df, dv='score', between='group')
print(aov[['Source', 'F', 'p-unc', 'np2']])
# np2 = partial eta-squared
 
# Two-way ANOVA
aov2 = pg.anova(data=df, dv='score', between=['group', 'condition'])
print(aov2[['Source', 'F', 'p-unc', 'np2']])
 
# RM-ANOVA
rm_aov = pg.rm_anova(data=df, dv='score', within='condition', subject='subject')
print(rm_aov[['Source', 'F', 'p-unc', 'np2', 'eps']])
# eps = Greenhouse-Geisser epsilon (구형성 보정)
 
# 수동 계산: omega-squared
import numpy as np
ss_between = 120
df_between = 2
ms_error = 4
ss_total = 216
omega_sq = (ss_between - df_between * ms_error) / (ss_total + ms_error)
print(f"ω² = {omega_sq:.3f}")

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관련 문서

• Effect Size 개요 — effect size 전체 분류
• ANOVA — η²가 사용되는 맥락
• Cohen’s d — ANOVA의 사후 검정에서 집단 쌍별 비교 시 사용
• Sample Size Determination — η² 기반 표본 크기 결정 (f = √(η²/(1-η²)))