Chi-square test

Summary

범주형 변수의 빈도(frequency)를 분석하는 비모수 검정. 관측 빈도와 기대 빈도의 차이를 검정하며, 세 가지 유형이 있다: 적합도(goodness-of-fit), 독립성(independence), 동질성(homogeneity).

용어 설명

• 교차표 (Contingency table, 분할표): 두 범주형 변수의 빈도를 행과 열로 정리한 표. 예: 성별(행) × 찬반(열)
• 관측 빈도 (Observed frequency, O): 실제로 데이터에서 관찰된 각 셀의 빈도
• 기대 빈도 (Expected frequency, E): 두 변수가 독립이라면 기대되는 이론적 빈도
• 자유도 (df): 적합도에서는 $k-1$ (범주 수 − 1), 독립성/동질성에서는 $(r-1)(c-1)$ (행 수 − 1) × (열 수 − 1)
• 범주형 변수 (Categorical variable): 숫자가 아닌 범주로 나뉘는 변수 (예: 성별, 혈액형, 선호도)

Chi-square Test (카이제곱 검정)

기본 수식

${\chi }^2=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$

수식 변수 풀이

• ${\chi }^2$: 카이제곱 통계량 — 관측값과 기대값의 괴리가 클수록 커짐
• $O_i$: 각 셀의 관측 빈도 — 실제 데이터에서 세어진 값
• $E_i$: 각 셀의 기대 빈도 — “차이가 없다(H₀)“고 가정했을 때 기대되는 값
• $(O_i-E_i{)}^2$: 차이를 제곱 → 방향 무관하게 괴리 크기 측정
• $E_i$로 나눔: 상대적 괴리 측정 (기대값이 작은 셀에서의 차이를 더 크게 반영)
• 직관: “관측 빈도가 기대 빈도에서 얼마나 벗어났는가?”

• $O_i$: 관측 빈도 (Observed)
• $E_i$: 기대 빈도 (Expected)
• df: 유형에 따라 다름

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유형별 비교

유형	질문	변수	df
적합도 (Goodness-of-fit)	관측 분포가 이론 분포와 일치하는가?	범주형 1개	k - 1
독립성 (Independence)	두 범주형 변수가 독립인가?	범주형 2개	(r-1)(c-1)
동질성 (Homogeneity)	여러 모집단의 분포가 같은가?	범주형 2개	(r-1)(c-1)

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1. 적합도 검정

“주사위가 공정한가?” — 관측 빈도 vs 기대 빈도

Example

주사위 120회 → 각 눈의 기대 빈도 = 20

눈	1	2	3	4	5	6
관측	25	17	15	23	22	18
기대	20	20	20	20	20	20

${\chi }^2=\frac{(25-20{)}^2}{20}+\frac{(17-20{)}^2}{20}+\cdots =3.8,df=5$

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2. 독립성 검정

“성별과 선호도가 관련이 있는가?” — 교차표(contingency table) 분석

기대 빈도: $E_{ij}=\frac{R_i\times C_j}{N}$

수식 변수 풀이

• $E_{ij}$: 행 i, 열 j 셀의 기대 빈도
• $R_i$: 행 i의 합계 (해당 행의 전체 빈도)
• $C_j$: 열 j의 합계 (해당 열의 전체 빈도)
• $N$: 전체 관측치 수
• 직관: “행과 열이 독립이면, 각 셀의 빈도는 행 비율 × 열 비율 × 전체 수”

Example

	찬성	반대	합계
남	40	60	100
여	55	45	100
합계	95	105	200

$E_{11}=\frac{100\times 95}{200}=47.5$

${\chi }^2=\frac{(40-47.5{)}^2}{47.5}+\cdots ,df=(2-1)(2-1)=1$

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3. 동질성 검정

독립성 검정과 수식은 동일하지만, 연구 설계가 다름:

• 독립성: 하나의 모집단에서 표본 추출 → 두 변수 관계
• 동질성: 여러 모집단에서 각각 표본 추출 → 분포 비교

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가정 및 제약

가정	설명
기대 빈도 ≥ 5	모든 셀의 기대 빈도가 5 이상 (80% 이상의 셀)
독립 관측	각 관측치는 독립적
범주형 변수	연속형 변수는 범주화 필요

기대 빈도 < 5일 때

• 2×2 표: Fisher’s exact test 사용
• 더 큰 표: 범주 합치기 또는 시뮬레이션 기반 검정

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Effect Size: Cramer’s V

$V=\sqrt{\frac{{\chi }^2}{n\cdot \min (r-1,c-1)}}$

수식 변수 풀이

• $V$: Cramer’s V — 0~1 범위의 연관성 강도 지표
• $n$: 전체 표본 크기
• $\min (r-1,c-1)$: 행 수와 열 수 중 작은 쪽 − 1. 표의 차원에 따라 보정
• 직관: “교차표에서 두 변수의 관계가 얼마나 강한가?”

V 값 (df*=1)	해석
0.1	Small
0.3	Medium
0.5	Large

df = min(r-1, c-1). df가 클수록 같은 V에서 연관성이 더 강하게 해석됨.

Phi coefficient (φ) — 2×2 표 전용

$\varphi =\sqrt{\frac{{\chi }^2}{n}}$

2×2에서는 V = φ.

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Fisher’s Exact Test

소표본/기대빈도 < 5일 때 카이제곱의 대안:

$p=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{a}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c+d}{c}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{a+c}\right)}$

수식 변수 풀이

• $a,b,c,d$: 2×2 교차표의 네 셀 빈도
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$: 조합(combination) — n개 중 k개를 뽑는 경우의 수
• Fisher’s exact test는 가능한 모든 표의 확률을 직접 계산하므로, 소표본에서도 정확한 p-value를 제공

• 정확한 p-value (근사 아님)
• 2×2에서 주로 사용, 더 큰 표에서도 가능 (계산 비용↑)

Implementation

from scipy import stats
import numpy as np
 
# === 적합도 검정 ===
observed = [25, 17, 15, 23, 22, 18]
expected = [20, 20, 20, 20, 20, 20]
chi2, p = stats.chisquare(observed, f_exp=expected)
print(f"χ²={chi2:.2f}, p={p:.4f}")
 
# === 독립성 검정 ===
contingency = np.array([[40, 60], [55, 45]])
chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(contingency)
print(f"χ²={chi2:.2f}, p={p:.4f}, df={dof}")
 
# Cramer's V
n = contingency.sum()
min_dim = min(contingency.shape) - 1
v = np.sqrt(chi2 / (n * min_dim))
print(f"Cramer's V = {v:.3f}")
 
# === Fisher's exact test (2×2) ===
odds_ratio, p = stats.fisher_exact(contingency)
print(f"Fisher's exact: OR={odds_ratio:.2f}, p={p:.4f}")
 
# === pingouin ===
import pingouin as pg
expected_arr, observed_arr, stats_result = pg.chi2_independence(
    data=df, x='gender', y='preference')
print(stats_result)

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관련 문서

• 통계 검정법 개요 — 검정법 선택 플로우차트
• Effect Size 개요 — Cramer’s V의 위치
• Sample Size Determination — 카이제곱 표본 크기 계산