Summary
**Curl(회전, 컬)**은 벡터장(예: 흐르는 물)이 한 점에서 얼마나 “빙글빙글 돌고 있는가”를 재는 양이다. 결과는 (스칼라가 아니라) 벡터로 나오며, 그 방향은 회전축, 크기는 회전의 세기를 뜻한다. 기호로는 이다.
용어 설명
- vector field (벡터장): 공간의 각 점마다 화살표(벡터)가 하나씩 붙어 있는 것. 예: 물의 흐름, 바람, 자기장.
- del operator ∇ (델/나블라): 미분 연산을 모아 둔 “벡터 모양의 연산자” .
- cross product (외적): 두 벡터로 새 벡터를 만드는 곱. curl은 와 의 외적이다.
- irrotational (비회전): curl이 0인 장. “전혀 안 도는” 장.
- conservative field (보존장): 퍼텐셜 함수가 존재하는 장. (단순연결 영역에서) curl=0 이면 보존장.
Curl (vector calculus)
1. 직관 (작은 바람개비가 얼마나 도는가)
흐르는 물 속 한 점에 아주 작은 **바람개비(paddle wheel)**를 살짝 띄워 둔다고 상상하자.
- 바람개비가 빙글빙글 돌면 → 그 점에서 curl이 0이 아니다 (회전이 있다).
- 바람개비가 안 돌고 떠내려가기만 하면 → curl = 0 (비회전).
curl이라는 벡터가 알려주는 것:
- 방향 = 바람개비의 회전축 (오른손 법칙: 손가락이 도는 방향, 엄지가 curl 방향).
- 크기 = 얼마나 빠르게 도는가.
회전하는 장 (curl ≠ 0) 퍼지는 장 (curl = 0)
↑ ↑
← (∘) → 바람개비 돈다 ↖ ↑ ↗ 바람개비 안 돈다
↓ ← ∘ → (그냥 밀려남)
↙ ↓ ↘
Tip
“얼마나 퍼지나(흩어지나)“는 divergence(발산), “얼마나 도나”는 curl(회전). 둘은 짝꿍 개념이다.
2. 정의 (공식)
즉 델 연산자 와 벡터장 의 **외적(cross product)**이다. 일 때:
행렬식(determinant) 모양으로 외우면 편하다:
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[4pt] P & Q & R \end{vmatrix}$$ ## 3. 성분 계산법 각 성분은 "**돌아가며(cyclic)** 한 변수로 미분 − 반대로 미분"이다. 패턴: $x\to y\to z\to x$. - **i 성분** (x축 회전): $\dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z}$ - **j 성분** (y축 회전): $\dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x}$ ← 부호 주의! (가운데만 순서가 뒤집힌 듯 보임) - **k 성분** (z축 회전): $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}$ > [!important] > > j 성분의 부호를 자주 틀린다. 행렬식으로 전개하면 가운데 항에 **(−)** 가 붙기 때문에 $\partial P/\partial z - \partial R/\partial x$ 가 된다. 외울 때 "i, j, k 모두 **앞 변수 → 뒤 변수** 순환($yz,\ zx,\ xy$)"으로 기억하면 부호 실수가 없다. ## 4. 예시 (회전하는 장 vs 안 도는 장) **(a) 소용돌이 장** $\mathbf{F} = (-y,\ x,\ 0)$ — 원점을 중심으로 반시계로 도는 흐름. $$\operatorname{curl}\mathbf{F} = \left(0-0,\ \ 0-0,\ \ \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial(-y)}{\partial y}\right) = (0,\ 0,\ 1-(-1)) = (0,\ 0,\ 2)$$ → 모든 점에서 일정하게 $z$축(+) 방향으로 도는 회전. 바람개비가 어디서든 같은 세기로 돈다. **(b) 바깥으로 퍼지는 장** $\mathbf{F} = (x,\ y,\ 0)$ — 원점에서 사방으로 뻗어 나가는 흐름. $$\operatorname{curl}\mathbf{F} = \left(0,\ 0,\ \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y}\right) = (0,\ 0,\ 0) = \mathbf{0}$$ → 퍼지기만 할 뿐 **안 돈다**. 비회전(irrotational). (참고: 이 장은 divergence가 큰 장이다.) ## 5. 어디에 쓰나 / 의미 - **보존장(conservative field) 판정**: $\operatorname{curl}\mathbf{F} = \mathbf{0}$ 이면 **비회전(irrotational)**. 영역이 **단순연결(simply connected)**이면 → $\mathbf{F}$ 는 보존장이고 **퍼텐셜 함수 $f$ (즉 $\mathbf{F}=\nabla f$)** 가 존재한다. 선적분이 경로에 무관해진다. - **2D 형태와 그린 정리**: $z$ 성분 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}$ 가 바로 **그린 정리(Green's Theorem)**의 피적분항이다. $$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$ - **3D 일반화 — 스토크스 정리(Stokes' Theorem)**: 곡면 위 curl의 선속(flux) = 경계 곡선을 따라 도는 순환(circulation). $$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$ - **전자기학(Maxwell 방정식)**: $\nabla \times \mathbf{E}$, $\nabla \times \mathbf{B}$ 가 핵심으로 등장한다 (변하는 자기장이 전기장의 회전을 만든다 등). > [!tip] > > 항등식 한 개: 어떤 그래디언트 장도 curl이 0이다 → $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$. "보존장이면 curl=0"의 한 줄 증명. ## 6. 30초 요약 - **curl = 벡터장이 한 점에서 얼마나 도는가** (작은 바람개비의 회전). - 공식: $\operatorname{curl}\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$ (델과 벡터장의 **외적**), 결과는 **벡터**. - 성분: $\big(R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y\big)$ — 순환 패턴 $yz,\ zx,\ xy$, **j 부호 주의**. - 방향 = 회전축, 크기 = 회전 세기. - $(-y,x,0)\Rightarrow$ curl $(0,0,2)$ (돈다) / $(x,y,0)\Rightarrow$ curl $\mathbf{0}$ (안 돈다, 퍼짐). - **curl = 0 → 비회전 → (단순연결이면) 보존장** → 퍼텐셜 존재. - 그린·스토크스 정리, 맥스웰 방정식의 핵심 부품. - 교과서: Stewart, §16.5 *Curl and Divergence*. ## 관련 노트 - [[Calculus Theorems (index)]] - [[Divergence (vector calculus)]] - [[Green's Theorem]] - [[Stokes' Theorem]]