Summary

**Divergence(발산)**는 벡터장(vector field)이 한 점에서 얼마나 “밖으로 퍼져 나가는가”를 재는 값이다. 양수면 그 점이 **샘(source, 수도꼭지)**처럼 뿜어내고, 음수면 **싱크(sink, 배수구)**처럼 빨아들이며, 0이면 들어온 만큼 그대로 나간다. 벡터장을 넣으면 스칼라(scalar) 하나가 튀어나오는 연산이다.

용어 설명

• vector field (벡터장): 공간의 모든 점마다 화살표(벡터)를 하나씩 붙여 놓은 것. 예: 물의 흐름 속도, 바람, 전기장.
• del operator ∇ (델/나블라): 미분을 모아놓은 “연산 벡터” $\nabla =(\partial /\partial x,\partial /\partial y,\partial /\partial z)$.
• dot product (내적): 두 벡터를 곱해 스칼라 하나를 만드는 연산. 성분끼리 곱해서 다 더함.
• source / sink (샘 / 흡입원): 벡터장이 솟아나는 점 / 빨려 들어가는 점.
• incompressible (비압축): 흐름이 쌓이거나 비지 않음 → 발산이 어디서나 0.
• flux (유출량/플럭스): 어떤 곡면을 “뚫고 나가는” 양.

Divergence (vector calculus)

1. 직관 (수도꼭지=발산>0, 배수구=발산<0)

작은 상자(box)를 한 점 주위에 놓는다고 상상하자. 벡터장은 그 상자를 통과하는 “물의 흐름”이다.

• 나가는 양 > 들어오는 양 → 상자 안에서 물이 새로 솟아남 → 발산 > 0 (수도꼭지 🚰, source)
• 나가는 양 < 들어오는 양 → 상자 안으로 물이 빨려 들어감 → 발산 < 0 (배수구 🕳️, sink)
• 나가는 양 = 들어오는 양 → 통과만 함 → 발산 = 0

 발산 > 0 (샘)         발산 = 0 (통과)        발산 < 0 (싱크)
    ↑                    →  →  →                ↓
  ← • →                  →  •  →              → • ←
    ↓                    →  →  →                ↑
 사방으로 뿜음          들어온 만큼 나감       사방에서 빨림

Tip

발산은 “그 한 점에서” 얼마나 새는지를 보는 국소적(local) 측정이다. 장 전체가 아니라 점마다 값이 다를 수 있다.

2. 정의 (공식)

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}$$

즉 **델 연산자 $\nabla$ 와 벡터장 $\mathbf{F}$ 의 내적(dot product)**이다. 내적이므로 결과는 스칼라(scalar) — 방향 없는 숫자 하나다.

3. 성분 계산법

$\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 일 때 (즉 $\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$):

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

각 성분을 자기 짝 변수로 편미분(partial derivative)해서 전부 더하면 끝. ($P$는 $x$로, $Q$는 $y$로, $R$은 $z$로.)

4. 예시 (퍼지는 장 vs 회전하는 장)

예시 1 — 사방으로 퍼지는 장: $\mathbf{F}=(x,y,z)$

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3>0$$

모든 점이 원점에서 바깥으로 뻗는 화살표 → 샘(source). 발산이 양수인 게 직관과 일치.

예시 2 — 회전만 하는 장: $\mathbf{F}=(-y,x,0)$

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z}=0+0+0=0$$

빙글빙글 도는 소용돌이지만 퍼지지도 모이지도 않음 → 발산 0. (이건 “회전”이라서 curl이 0이 아니다.)

Warning

divergence(발산) ≠ curl(회전)!

• divergence: $\nabla \cdot \mathbf{F}$, 내적, 결과는 스칼라, “얼마나 퍼지나”.
• curl: $\nabla \times \mathbf{F}$, 외적(cross product), 결과는 벡터, “얼마나 도나”.
  점(·)이면 발산, 가위표(×)면 회전이라고 기억하자.

5. 어디에 쓰나 / 의미 (div=0 → 비압축; 발산 정리와의 연결)

• $\mathrm{div}\mathbf{F}=0$ 이면 그 장은 비압축(incompressible)·솔레노이드(solenoidal) 장. 어디서도 솟거나 빨리지 않음 — 물처럼 양이 보존되는 흐름.
• 발산 정리 (Divergence Theorem): 닫힌 곡면(closed surface)을 통한 총 **유출(flux)**은, 그 안쪽의 발산을 전부 더한 것과 같다.

$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iiint }_E(\nabla \cdot \mathbf{F})dV$$

“표면으로 나가는 총량 = 내부에서 솟아난 총량”이라는 당연한 말의 수학 버전.

• 물리 응용: 유체역학(질량 보존), 전자기학의 가우스 법칙(Gauss’s law) — 전기장의 발산은 그 자리의 전하 밀도에 비례.

6. 30초 요약

• 발산(divergence) = $\nabla \cdot \mathbf{F}$ = 한 점에서 벡터장이 얼마나 퍼져 나가나(net outflow).
• 성분: $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ — 짝 변수로 편미분 후 합. 결과는 스칼라.
• 부호: + = 샘(수도꼭지), − = 싱크(배수구), 0 = 통과(비압축).
• $\mathbf{F}=(x,y,z)\Rightarrow 3$ (퍼짐), $\mathbf{F}=(-y,x,0)\Rightarrow 0$ (회전만).
• 내적·스칼라 = 발산, 외적·벡터 = curl(회전). 헷갈리지 말 것.
• 닫힌 면의 flux = 내부 발산의 합 → 발산 정리. 교과서: Stewart §16.5.

관련 노트

• Calculus Theorems (index)
• Curl (vector calculus)
• Divergence Theorem
• Green’s Theorem