Summary

완전미분방정식(exact equation)은 좌변이 사실 어떤 함수 $F(x,y)$의 전미분 $dF$인 미분방정식이다. 그래서 $dF=0$ 즉 $F(x,y)=C$ 가 바로 해가 된다. 핵심은 $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$ 인지 한 번 확인(완전성 판정)하고, 그 $F$를 거꾸로 복원하는 것이다.

용어 설명

• exact equation (완전미분방정식): 좌변이 어떤 함수의 전미분이 되는 1계 방정식.
• potential function (퍼텐셜 함수): $F_x=M$, $F_y=N$ 을 만족하는 숨은 함수 $F(x,y)$. 우리가 찾아야 할 보물.
• total differential (전미분): $dF=F_{x}dx+F_{y}dy$. “$x$도 조금, $y$도 조금 변할 때 $F$가 얼마나 변하나”.
• exactness test (완전성 판정): $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$ 인지 보는 검사.
• integrating factor (적분인자): 완전하지 않은 식에 곱해서 완전하게 만들어주는 마법의 함수 $\mu$.

Exact Equations

1. 직관 (어떤 함수 F의 전미분이 0 = F가 일정)

산을 떠올려 보자. 어떤 지점 $(x,y)$의 높이를 $F(x,y)$라고 하자. 등고선(같은 높이를 잇는 선) 위를 걸으면 높이가 안 변한다. 즉 $F(x,y)=C$ (일정).

높이의 변화량은 전미분 $dF=F_{x}dx+F_{y}dy$ 로 적는다. 등고선 위에서는 높이가 안 변하니까 $dF=0$.

그런데 우리가 보는 미분방정식이 $Mdx+Ndy=0$ 모양이고, 운 좋게 $M=F_x$, $N=F_y$ 라면? 좌변이 바로 $dF$ 다! 그러면 $dF=0\Rightarrow F(x,y)=C$ 가 해다. 굳이 적분 기법을 짜낼 필요 없이, “원래 함수 $F$가 뭐였는지”만 되찾으면 끝난다.

Tip

완전미분방정식은 “미분된 결과를 보고 원래 함수를 역추적”하는 문제다. 마치 도함수만 보고 원함수를 찾는 것과 같은데, 변수가 둘($x,y$)이라 절차가 조금 더 있을 뿐이다.

2. 형태·완전성 판정 (∂M/∂y = ∂N/∂x)

표준 형태:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

완전성 판정 (exactness test):

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

이게 성립하면 이 방정식은 완전(exact) 하고, $F_x=M$, $F_y=N$ 을 만족하는 퍼텐셜 함수 $F(x,y)$가 반드시 존재한다.

왜 이 검사가 통할까? 만약 $F$가 존재한다면 $M=F_x$, $N=F_y$ 이고, 잘 행동하는 함수는 섞인 2계 편도함수가 순서와 무관하다($F_{xy}=F_{yx}$). 그래서
$\frac{\partial M}{\partial y}=F_{xy}=F_{yx}=\frac{\partial N}{\partial x}$
가 성립해야만 한다. 즉 이 등식은 “$F$가 존재할 자격이 있는가”를 묻는 시험지다.

3. 풀이 절차 (F를 복원해 F(x,y)=C)

1. 식을 $Mdx+Ndy=0$ 꼴로 정리한다.
2. 판정: $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$ 확인. 같으면 완전 → 진행. 다르면 5번(적분인자)으로.
3. $F=\int Mdx$ 를 계산한다. 이때 $x$로 적분하므로 상수 대신 $y$만의 미지함수 $g(y)$ 가 붙는다:
   $F(x,y)=\int Mdx+g(y)$
4. 방금 구한 $F$를 $y$로 편미분해서 $F_y=N$ 과 비교 → $g^{\prime }(y)$ 가 결정된다. 적분해서 $g(y)$ 를 구한다.
5. 답: $F(x,y)=C$.

Tip

3번에서 $x$ 대신 $N$을 $y$로 적분하며 시작해도 된다(이때는 $x$만의 미지함수 $h(x)$가 붙음). $M$과 $N$ 중 적분하기 쉬운 쪽을 골라라.

4. 예시 (구체 풀이)

$(2xy)dx+(x^2+1)dy=0$

여기서 $M=2xy$, $N=x^2+1$.

판정:
$\frac{\partial M}{\partial y}=2x,\frac{\partial N}{\partial x}=2x.$
같다 → 완전(exact)!

$F$ 복원:
$F=\int Mdx=\int 2xydx=x^{2}y+g(y).$

이제 $F_y=N$ 이어야 하므로:
$F_y=x^2+g^{\prime }(y)\stackrel{!}{=}{x}^2+1\Rightarrow g^{\prime }(y)=1\Rightarrow g(y)=y.$

따라서
$F(x,y)=x^{2}y+y=C.$

이게 해다. (원하면 $y(x^2+1)=C$ 로 묶어서 $y=\frac{C}{x^2+1}$ 로 쓸 수도 있다.)

5. 비완전일 때 (적분인자로 완전화) / 흔한 함정

판정에서 $\partial M/\partial y\ne \partial N/\partial x$ 면 비완전(not exact). 이때는 적분인자(integrating factor) $\mu$ 를 양변에 곱해 $\mu Mdx+\mu Ndy=0$ 을 완전하게 만든다.

자주 쓰는 두 가지 공식:

• 만약 $\frac{M_y-N_x}{N}$ 가 $x$만의 함수라면, $\mu (x)$ 가 존재:
  $\mu (x)=\exp \left(\int \frac{M_y-N_x}{N}dx\right)$
• 만약 $\frac{N_x-M_y}{M}$ 가 $y$만의 함수라면, $\mu (y)$ 가 존재:
  $\mu (y)=\exp \left(\int \frac{N_x-M_y}{M}dy\right)$

$\mu$ 를 곱한 뒤에는 다시 3절의 절차(이미 완전해졌으니)를 그대로 밟으면 된다.

Warning

흔한 함정

• 판정 먼저! $F$부터 적분하려 들지 말 것. 완전성은 편도함수 한 번 비교로 끝난다.
• 3번에서 $\int Mdx$ 뒤에 붙는 건 단순 상수 $C$가 아니라 $g(y)$ (또는 $h(x)$). 이걸 빼먹으면 $N$ 조건을 못 맞춘다.
• $M_y$ 는 “$M$을 $y$로”, $N_x$ 는 “$N$을 $x$로”. 엇갈려 미분하는 것에 주의(같은 변수로 미분하면 안 됨).
• 적분인자 공식은 분자가 “$x$만” 또는 “$y$만”의 함수로 깔끔히 떨어질 때만 쓸 수 있다.

6. 30초 요약

• 형태: $Mdx+Ndy=0$.
• 판정: $\partial M/\partial y=\partial N/\partial x$ → 완전(exact).
• 의미: 좌변이 $dF$, 그래서 해는 $F(x,y)=C$ (등고선).
• 절차: $F=\int Mdx+g(y)$ → $F_y=N$ 으로 $g^{\prime }(y)$ 결정 → $F=C$.
• 비완전이면 적분인자 $\mu$ 곱해 완전화.
• 교과서: Boyce & DiPrima, §2.6.

관련 노트

• Differential Equations (index)
• First-Order Linear ODE (Integrating Factor)
• Ordinary Differential Equations (overview)