Summary

1계 선형 미분방정식 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 는 양변에 적분인자(integrating factor) $\mu (x)=e^{\int p(x)dx}$ 를 곱하면 좌변이 통째로 $(\mu y{)}^{\prime }$ 한 덩어리로 묶인다. 그 다음 양변을 적분만 하면 끝이다. 핵심은 “곱미분의 역방향으로 묶어주는 마법의 곱셈수”를 찾는 것.

용어 설명

• first-order linear ODE (1계 선형 미분방정식): 미지함수 $y$ 와 그 1차 도함수 $y^{\prime }$ 만 들어가고, $y$ 와 $y^{\prime }$ 이 모두 “1차”(제곱·곱·sin 같은 거 없이 곧게)로만 나오는 방정식. 표준형 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$.
• integrating factor (적분인자): 양변에 곱했더니 좌변이 곱미분 한 덩어리 $(\mu y{)}^{\prime }$ 로 변신하게 만드는 함수 $\mu (x)$.
• product rule (곱미분): $(\mu y{)}^{\prime }={\mu }^{\prime }y+\mu y^{\prime }$. 적분인자법은 이 공식을 거꾸로 되감는 트릭이다.
• standard form (표준형): $y^{\prime }$ 의 계수를 1로 맞춘 모양 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$.

First-Order Linear ODE (Integrating Factor)

1. 직관 (적분인자를 곱해 좌변을 곱미분 한 덩어리로)

$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 에서 골치 아픈 건 왼쪽에 $y^{\prime }$ 와 $y$ 가 따로 흩어져 있다는 점이다. 이대로는 그냥 적분할 수가 없다.

여기서 아이디어. 곱미분 공식을 떠올려 보자.

$(\mu y{)}^{\prime }={\mu }^{\prime }y+\mu y^{\prime }$

오른쪽 모양이 $y^{\prime }+(\text{무언가})y$ 랑 닮았다! 만약 우리가 어떤 똑똑한 함수 $\mu (x)$ 를 골라서 양변에 곱했을 때, 왼쪽이 정확히 $(\mu y{)}^{\prime }$ 처럼 보이게 만들 수 있다면, 적분 한 방으로 풀린다.

Tip

적분인자 $\mu$ 는 “흩어져 있던 $y^{\prime }$ 와 $y$ 를 다시 한 덩어리 $(\mu y)$ 의 미분으로 접착시키는 풀(glue)” 이라고 생각하면 쉽다. 마치 분해된 레고를 다시 한 블록으로 붙여주는 셈.

곱했을 때 그게 가능하려면 $\mu$ 가 만족해야 할 조건이 ${\mu }^{\prime }=\mu p$ 인데, 이걸 풀면 $\mu =e^{\int pdx}$ 가 나온다. 그래서 적분인자 공식이 저 모양인 것이다.

2. 표준형과 적분인자 공식 ($LaTeX$)

표준형 (먼저 이 모양으로 정리할 것):

$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$

적분인자:

$\mu (x)=e^{\int p(x)dx}$

양변에 $\mu$ 를 곱하면 좌변이 한 덩어리로 묶인다 (곱미분의 역):

$(\mu y{)}^{\prime }=\mu q$

3. 풀이 절차

1. 표준형으로 정리: $y^{\prime }$ 의 계수를 1로 만든다. (앞에 숫자나 함수가 붙어 있으면 양변을 나눠라.)
2. $p(x)$ 찾기: $y$ 앞에 붙은 함수가 $p(x)$.
3. 적분인자 계산: $\mu =e^{\int pdx}$.
4. 양변에 $\mu$ 곱하기 → 좌변을 $(\mu y{)}^{\prime }$ 로 묶는다.
5. 양변 적분: $\mu y=\int \mu qdx+C$.
6. $y$ 로 정리: $y=\frac{1}{\mu }\left(\int \mu qdx+C\right)$.

4. 예시 (구체 풀이)

문제: $y^{\prime }+2y=e^x$

1. 이미 표준형. $p(x)=2$, $q(x)=e^x$.
2. 적분인자: $\mu =e^{\int 2dx}=e^{2x}$.
3. 양변에 곱하기: $e^{2x}{y}^{\prime }+2e^{2x}y=e^{2x}\cdot e^x=e^{3x}$.
4. 좌변을 묶기: ${\left(e^{2x}y\right)}^{\prime }=e^{3x}$.
5. 양변 적분: $e^{2x}y=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$.
6. $y$ 로 정리: $y=\frac{1}{3}{e}^x+C{e}^{-2x}$.

Tip

4번에서 좌변이 정말 묶이는지 의심되면, $(e^{2x}y{)}^{\prime }$ 를 곱미분으로 도로 펼쳐 보라. $2e^{2x}y+e^{2x}{y}^{\prime }$ 가 나와서 3번 좌변과 똑같다. 항상 이렇게 검산할 수 있다.

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

쓰임새:

• RC 회로: 전류·전압이 $i^{\prime }+\frac{1}{RC}i=\dots$ 같은 1계 선형 꼴.
• 혼합 문제 (mixing problem): 소금물 탱크에 들어오고 나가는 농도 변화.
• 뉴턴 냉각 (Newton’s cooling), 인구·약물 농도 등 “변화율이 현재값에 선형으로 의존” 하는 모델.

Warning

• 반드시 표준형 먼저! $3y^{\prime }+6y=x$ 처럼 앞에 계수가 붙어 있으면 3으로 나눠 $y^{\prime }+2y=x/3$ 으로 만든 뒤에 $p$ 를 읽어야 한다. 안 나누면 $\mu$ 가 틀린다.
• $p,q$ 는 상수가 아니라 $x$ 의 함수여도 된다. 예: $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=x$ 에서 $p=1/x$, $\mu =e^{\int (1/x)dx}=e^{\ln x}=x$.
• 적분인자 구할 때 $\int pdx$ 의 적분상수는 생략한다. (어차피 곱하면 상수배가 양변에서 소거되어 답에 영향 없음.)
• 적분상수 $C$ 는 마지막 일반해에 딱 한 번만 붙인다.

6. 30초 요약 (bullets)

• 표준형: $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 로 먼저 정리 (계수 1!).
• 적분인자: $\mu =e^{\int pdx}$.
• 곱하면 좌변이 한 덩어리: $(\mu y{)}^{\prime }=\mu q$.
• 양변 적분 후 정리: $y=\frac{1}{\mu }\left(\int \mu qdx+C\right)$.
• 직관: $\mu$ 는 $y^{\prime }+py$ 를 $(\mu y{)}^{\prime }$ 로 접착시키는 마법의 곱셈수.
• 교과서: Boyce & DiPrima, §2.1.

관련 노트

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