Summary

역행렬(inverse matrix) $A^{-1}$는 행렬 $A$가 한 변환이라면 그 변환을 정확히 “되돌리는” 변환이다. $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$(항등행렬)를 만족하며, 존재하면 단 하나뿐이다. 정사각행렬이고 $\det (A)\ne 0$일 때만 존재한다.

용어 설명

• inverse matrix (역행렬): 곱하면 항등행렬이 되는 짝꿍 행렬 $A^{-1}$.
• identity matrix (항등행렬/단위행렬): 대각선이 1, 나머지는 0인 행렬 $I$. 곱셈에서 숫자 1과 같은 역할.
• nonsingular / invertible (가역/정칙): 역행렬이 존재하는 행렬.
• singular (특이/비가역): 역행렬이 없는 행렬 ($\det =0$).
• determinant (행렬식): 역행렬 존재 여부를 알려주는 숫자 $\det (A)$.
• rank (계수/랭크): 일차독립인 행(또는 열)의 개수.

Matrix Inverse

1. 직관 (변환을 되돌리는 역변환)

행렬 $A$를 벡터에 곱하는 건 “공간을 어떤 식으로 바꾸는 변환”이라고 생각하면 된다. 예를 들어 도형을 2배 늘리거나, 회전시키거나, 기울이는 것.

역행렬 $A^{-1}$은 그 변환을 정확히 거꾸로 되돌리는 리모컨의 “되감기” 버튼이다.

• 양말을 신고($A$) → 양말을 벗으면($A^{-1}$) → 원래 맨발로 돌아옴($I$).
• 2배 늘렸으면 → 역변환은 절반으로 줄이는 것.
• 30도 회전시켰으면 → 역변환은 30도 거꾸로 회전.

먼저 $A$로 변환했다가 다시 $A^{-1}$로 변환하면 아무것도 안 한 것과 같아진다. 그게 바로 $A{A}^{-1}=I$다.

Tip

숫자 세계의 “역수”와 똑같다. $5\times \frac{1}{5}=1$ 처럼, 행렬 세계에서는 $A\times A^{-1}=I$. 그래서 $A^{-1}$을 “행렬의 역수”라고 생각해도 된다.

2. 정의 ($A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$)

정사각행렬 $A$에 대해 다음을 만족하는 행렬 $A^{-1}$을 역행렬이라 한다.

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

여기서 $I$는 항등행렬(identity matrix):

$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

• 일반 곱셈과 달리 행렬곱은 순서가 중요하지만, 역행렬은 앞에서 곱하든 뒤에서 곱하든 $I$가 된다.
• 역행렬이 존재하면 유일하다(단 하나뿐).

3. 존재 조건 (정사각 + det≠0)

역행렬이 존재하려면:

1. 정사각행렬이어야 한다 ($n\times n$). 직사각형 행렬은 역행렬이 없다.
2. $\det (A)\ne 0$ 이어야 한다.

다음 조건들은 전부 서로 동치다 (하나가 참이면 전부 참, “가역/invertible/nonsingular”의 여러 얼굴):

• $\det (A)\ne 0$
• 모든 열(column)이 일차독립(linearly independent)
• rank(랭크) $=n$ (꽉 찬 랭크, full rank)
• $Ax=0$ 이 자명해(trivial solution) $x=0$ 만 가짐
• 모든 $b$에 대해 $Ax=b$ 가 항상 유일한 해를 가짐

Warning

$\det (A)=0$ 이면 **특이행렬(singular)**이라 역행렬이 없다. 변환이 공간을 납작하게 짓눌러 정보를 잃어버린 상태라, 되돌릴 방법이 없다. (찌그러진 점토를 원래 모양으로 못 되돌리는 것과 같다.)

4. 구하는 법 (2x2 공식, Gauss-Jordan)

2x2 공식 (외우기 쉬움)

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

여기서 $ad-bc=\det (A)$. 대각선 $a,d$는 자리 맞바꾸고, 반대 대각선 $b,c$는 부호만 뒤집고, 마지막에 $\det$으로 나눈다.

예시:
$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right],\det =2\cdot 1-1\cdot 1=1$
$A^{-1}=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

검산: $A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I$ ✓

Gauss-Jordan 소거법 (큰 행렬용)

$A$ 옆에 항등행렬 $I$를 붙여 $[A\mid I]$를 만들고, **행연산(row operation)**으로 왼쪽을 $I$로 만들면 오른쪽이 저절로 $A^{-1}$이 된다.

$[A\mid I]\stackrel{\text{행연산}}{\to }[I\mid A^{-1}]$

왼쪽 $A$에 한 똑같은 작업이 오른쪽 $I$에도 똑같이 쌓이기 때문에, $A$를 $I$로 되돌리는 과정 자체가 $A^{-1}$을 만들어낸다.

5. 성질 / 쓰임

선형계 풀기 (가장 중요)

연립방정식 $Ax=b$ 를 한 방에 풀 수 있다:

$Ax=b\Rightarrow x=A^{-1}b$

양변 앞에 $A^{-1}$를 곱하면 $A^{-1}Ax=A^{-1}b$, 즉 $Ix=A^{-1}b$ 가 되기 때문.

Warning

이건 이론적인 공식이다. 컴퓨터로 실제 계산할 때는 역행렬을 직접 구하지 말고 가우스 소거법(Gaussian elimination) 으로 $x$를 바로 푸는 게 더 빠르고 정확하다.

곱과 전치의 역행렬

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}(\text{순서가 뒤집힘!})$

$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

Tip

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ 은 “양말 신고 신발 신기”로 기억. 벗을 때는 신발 먼저, 양말 나중으로 역순! ($A$=양말, $B$=신발)

6. 30초 요약

• 역행렬 $A^{-1}$ = 변환을 되돌리는 역변환, 행렬판 역수.
• 정의: $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$. 존재하면 유일.
• 존재 조건: 정사각 + $\det (A)\ne 0$ (= 열 일차독립 = rank $n$ = $Ax=b$ 유일해).
• 2x2: $\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$.
• 큰 행렬: $[A\mid I]\to [I\mid A^{-1}]$ (Gauss-Jordan).
• 쓰임: $Ax=b\Rightarrow x=A^{-1}b$ (실전 계산은 소거법 권장).
• 함정: $\det =0$(singular)이면 역행렬 없음, 비정사각도 없음 → 이럴 땐 pseudoinverse(유사역행렬).
• 참고: Strang, Linear Algebra, Ch 2.

관련 노트

• Linear Algebra Concepts (index)
• Matrix Multiplication
• Determinant
• Gaussian Elimination