Summary

행렬 곱(matrix product)은 두 표(table)를 곱해서 새 표를 만드는 규칙으로, 핵심은 “앞 행렬의 i행 × 뒤 행렬의 j열의 내적(dot product)“이다. 의미상으로는 두 선형변환을 차례로 합성(composition)하는 연산이며, 그래서 순서가 바뀌면 결과도 달라진다(non-commutative).

용어 설명

• matrix product (행렬 곱): 두 행렬을 곱해 만든 새 행렬.
• inner/dot product (내적): 두 벡터를 성분끼리 곱해서 다 더한 값. 예: $(1,2)\cdot (3,4)=1\cdot 3+2\cdot 4=11$.
• conformable (곱셈 가능 크기): 앞 행렬의 “열 수”와 뒤 행렬의 “행 수”가 같아야 곱할 수 있는 상태.
• non-commutative (비가환): 순서를 바꾸면 답이 달라지는 성질. $AB\ne BA$.
• associative (결합법칙): 묶는 순서는 바꿔도 됨. $A(BC)=(AB)C$.
• linear combination (일차결합): 벡터들에 숫자를 곱해 더한 것.
• transpose (전치): 행과 열을 뒤집은 행렬. 기호 $A^T$.

Matrix Multiplication

1. 직관 (변환의 합성; 행×열)

행렬을 “입력 벡터를 다른 벡터로 바꿔주는 기계(선형변환)“라고 생각하자. 기계 $B$에 넣어 한 번 바꾸고, 그 결과를 다시 기계 $A$에 넣어 또 바꾸면, 이 “두 단계를 한 번에 처리하는 기계”가 바로 $AB$다.

읽는 순서 주의

$AB$는 **먼저 $B$, 그다음 $A$**를 적용한다. 글자 순서랑 적용 순서가 반대라 헷갈리기 쉽다. 함수 합성 $f(g(x))$에서 $g$가 먼저 적용되는 것과 똑같다.

계산 자체의 직관은 더 단순하다. 결과 행렬의 i행 j열 칸은, $A$의 **i번째 행(가로줄)**과 $B$의 **j번째 열(세로줄)**을 가져와 내적한 값이다. “가로줄을 옆으로 눕혀 세로줄에 딱 맞춰 곱하고 더한다”고 외우면 된다.

2. 정의 (성분 공식, 크기 조건)

$A$가 $m\times n$ 행렬, $B$가 $n\times p$ 행렬이면 곱 $AB$는 $m\times p$ 행렬이고, 각 성분은

$$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

크기 조건(conformable): 앞 행렬의 열 수 = 뒤 행렬의 행 수. 즉 가운데 숫자가 같아야 하고, 바깥쪽 두 숫자가 결과 크기가 된다.

$$(m\times \underset{\text{같아야 함}}{\underbrace{n)(n}}\times p)\Rightarrow m\times p$$

크기가 안 맞으면

$A$가 $2\times 3$, $B$가 $2\times 2$면 가운데 숫자(3과 2)가 달라서 $AB$는 아예 정의되지 않는다. 곱셈 불가.

3. 여러 관점 (행×열 내적 / 열의 일차결합 / 외적의 합)

같은 곱셈을 보는 3가지 시선:

1. 행 × 열 내적 (기본): $(AB{)}_{ij}$ = $A$의 $i$행과 $B$의 $j$열의 내적. 위 정의 그대로.
2. 열의 일차결합: $AB$의 각 열은 “$A$의 열들을 $B$의 해당 열 숫자로 가중합한 것”. 즉 $AB$의 $j$번째 열 $=b_{1j}(\text{A의 1열})+b_{2j}(\text{A의 2열})+\cdots$. → $A$의 열공간(column space) 안에 결과가 산다는 걸 보여줌.
3. 외적(rank-1)들의 합: $A$의 $k$번째 열을 $a_k$, $B$의 $k$번째 행을 $b_k^T$라 하면

$$AB=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k^T$$

각 항은 세로벡터×가로벡터 = 한 장의 rank-1 행렬이고, 그것들을 겹겹이 쌓은 게 $AB$다.

4. 예시 (구체 2x2 계산)

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

각 칸을 “A의 행 · B의 열”로 계산:

• $(1,1)$칸: $(1,2)\cdot (0,1)=1\cdot 0+2\cdot 1=2$
• $(1,2)$칸: $(1,2)\cdot (1,0)=1\cdot 1+2\cdot 0=1$
• $(2,1)$칸: $(3,4)\cdot (0,1)=3\cdot 0+4\cdot 1=4$
• $(2,2)$칸: $(3,4)\cdot (1,0)=3\cdot 1+4\cdot 0=3$

$$AB=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$$

의미 확인

$B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$는 “두 열을 맞바꾸는” 변환(swap)이다. 실제로 $AB$는 $A$의 1열과 2열이 자리를 바꾼 모습이다. 직관(관점 2: 열의 재조합)과 정확히 일치.

5. 성질 / 흔한 함정

가장 흔한 실수

순서가 중요하다. 일반적으로 $AB\ne BA$ (non-commutative). 위 예시로 직접 확인:
$BA=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]\ne AB$

성립하는 법칙:

• 결합법칙(associative): $A(BC)=(AB)C$. 묶는 순서는 자유.
• 분배법칙(distributive): $A(B+C)=AB+AC$.
• 전치 규칙: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ (순서 뒤집힘에 주의!).
• 항등원(identity): $AI=IA=A$ (여기서 $I$는 단위행렬).

또 다른 함정

$AB=O$ (영행렬)이라고 해서 $A=O$ 또는 $B=O$인 건 아니다. 둘 다 0이 아니어도 곱이 0이 될 수 있다. (예: $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=O$)

6. 30초 요약

• 무엇: 행렬 곱 = 두 선형변환의 합성. $AB$는 먼저 $B$, 그다음 $A$.
• 공식: $(AB{)}_{ij}={\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$ = (A의 i행)·(B의 j열) 내적.
• 크기: $(m\times n)(n\times p)=m\times p$. 가운데 숫자 같아야 곱셈 가능(conformable).
• 3관점: 행×열 내적 / A 열들의 일차결합 / 외적(rank-1)의 합.
• 법칙: 결합 O, 분배 O, $(AB{)}^T=B^T{A}^T$. 단, $AB\ne BA$ (순서 주의).
• 함정: 크기 안 맞으면 불가, $AB=O$여도 $A,B\ne O$ 가능.
• 교과서: Strang, Linear Algebra, Ch 2.

관련 노트

• Linear Algebra Concepts (index)
• Matrix Inverse
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