Summary

롤의 정리(Rolle’s Theorem): 함수가 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하며, 양 끝값이 같으면($f(a)=f(b)$), 그 사이 어딘가에서 접선이 수평이 되는 점($f^{\prime }(c)=0$)이 반드시 존재한다. 한마디로 “같은 높이에서 출발해 같은 높이로 돌아오면 중간에 꼭 수평인 순간이 있다”는 정리다. 평균값 정리(MVT)의 기울기가 0인 특수한 경우이기도 하다.

용어 설명

• continuous (연속): 그래프를 펜을 떼지 않고 그릴 수 있음. 끊김이나 점프가 없음.
• differentiable (미분가능): 그래프가 매끄러워서(뾰족한 꺾임·수직 접선 없음) 모든 점에서 접선의 기울기를 잴 수 있음.
• closed interval [a,b] (닫힌구간): 양 끝점 $a$, $b$를 포함하는 구간.
• open interval (a,b) (열린구간): 양 끝점을 제외한 사이 구간.
• $f^{\prime }(c)=0$: $x=c$에서 접선의 기울기가 0, 즉 수평 접선(horizontal tangent).

Rolle’s Theorem

1. 직관

산을 오르내리는 등산로를 생각하자. 출발 지점과 도착 지점의 높이가 똑같다고 하자(예: 같은 해발 100m 지점에서 출발해 다른 100m 지점에 도착).

그러면 길 중간 어딘가에는 반드시 “더 이상 오르지도 내려가지도 않는 순간”, 즉 **꼭대기(최고점)나 골짜기(최저점)**가 있다. 그 순간 발밑의 길은 **평평(기울기 0)**하다.

• 올라갔다가 내려왔다면 → 꼭대기에서 기울기 0
• 내려갔다가 올라왔다면 → 골짜기에서 기울기 0
• 아예 평지였다면 → 어디든 기울기 0

어느 경우든 “기울기가 0인 수평 접선” 자리가 적어도 하나 생긴다. 이것이 롤의 정리다.

2. 정식 진술 (3개 가정 + 결론)

함수 $f$가 다음 세 가정을 모두 만족한다고 하자.

1. (연속) $f$는 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속(continuous)이다.
2. (미분가능) $f$는 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능(differentiable)이다.
3. (끝값 같음) $f(a)=f(b)$이다.

그러면 결론:

$\exists c\in (a,b)\text{such that}{f}^{\prime }(c)=0.$

즉, $f^{\prime }(c)=0$을 만족하는 점 $c$가 열린구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

가정 외우는 법

헷갈리면 구간을 보라. 연속은 닫힌구간 $[a,b]$(끝점 포함), 미분가능은 열린구간 $(a,b)$(끝점 제외). 끝점에서는 미분가능성을 요구하지 않는다는 점이 포인트. 거기에 “양 끝 높이가 같다($f(a)=f(b)$)“만 더하면 끝.

3. 왜 성립하나 (증명 스케치)

핵심 도구는 **최대·최소 정리(Extreme Value Theorem, EVT)**와 **페르마의 정리(Fermat’s Theorem)**다.

1. EVT 적용: $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이므로, $[a,b]$ 안에서 최댓값과 최솟값을 반드시 가진다.
2. 경우 나누기:
   • (a) 최댓값이나 최솟값 중 하나가 내부점($(a,b)$ 안)에서 일어나는 경우 → 그 점을 $c$라 하면, $c$에서 미분가능하고 극값이므로 페르마의 정리에 의해 $f^{\prime }(c)=0$.
   • (b) 최댓값과 최솟값이 둘 다 끝점에서만 일어나는 경우 → $f(a)=f(b)$라서 최댓값 = 최솟값. 그러면 $f$는 구간 전체에서 상수함수이고, 상수함수의 도함수는 $0$이므로 $(a,b)$의 아무 점에서나 $f^{\prime }(c)=0$.
3. 두 경우 모두 $f^{\prime }(c)=0$인 $c$가 존재한다. $■$

4. 예시 (그림 + 숫자)

$f(x)=x^2$ 를 구간 $[-1,1]$에서 보자.

• 연속? 다항식이라 어디서나 연속 ✔
• 미분가능? 다항식이라 어디서나 미분가능 ✔
• 끝값? $f(-1)=(-1{)}^2=1$, $f(1)=1^2=1$ → $f(-1)=f(1)=1$ ✔

세 가정 모두 만족 → 결론대로 $f^{\prime }(c)=0$인 $c$가 있어야 한다. $f^{\prime }(x)=2x=0\Rightarrow c=0$. 실제로 $c=0\in (-1,1)$에서 수평 접선!

 y
 1 *               *      ← 양 끝 높이 같음 f(-1)=f(1)=1
   |  \           /
   |    \       /
   |      \   /
 0 +--------V--------- x   ← c=0, 골짜기에서 기울기 0 (수평 접선)
  -1       0        1

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정 (반례)

어디에 쓰나

• 평균값 정리(MVT)의 디딤돌: 롤의 정리는 MVT에서 기울기가 0인 특수한 경우($f(a)=f(b)$). MVT 증명도 롤의 정리에서 출발한다.
• 방정식 근의 개수 제한: “$f^{\prime }(x)=0$의 근이 1개뿐이면 $f(x)=0$의 근은 많아야 2개” 같은 논증에 쓰임(근이 3개면 롤의 정리로 $f^{\prime }$의 근이 2개 이상 강제됨).

흔한 함정 — 미분가능 가정을 빼먹지 마라

미분가능(differentiable) 조건은 필수다. 한 점이라도 꺾이면 결론이 깨진다.

반례: $f(x)=|x|$ 를 $[-1,1]$에서 보자.

• 연속? ✔ (펜 안 떼고 그려짐)
• 끝값? $f(-1)=1$, $f(1)=1$ → 같음 ✔
• 하지만 미분가능? ✗ — $x=0$에서 뾰족하게 꺾여 미분 불가.

결과: $f^{\prime }(x)$는 $x<0$에서 $-1$, $x>0$에서 $+1$로, $f^{\prime }(c)=0$인 점이 어디에도 없다. 가정 하나(미분가능)가 깨지니 결론도 무너진 것.

 y
 1 *\           /*     ← f(-1)=f(1)=1, 끝값은 같지만
   |  \        /
   |    \     /
   |      \  /
 0 +-------V-------- x  ← x=0에서 뾰족! 미분 불가 → 수평 접선 없음
  -1       0       1     기울기는 -1 아니면 +1, 0이 안 됨

6. 30초 요약

• 이름: 롤의 정리 (Rolle’s Theorem)
• 가정 3개: ① $[a,b]$에서 연속, ② $(a,b)$에서 미분가능, ③ $f(a)=f(b)$ (끝값 같음)
• 결론: $(a,b)$ 안에 $f^{\prime }(c)=0$인 $c$가 적어도 하나 존재 (수평 접선)
• 직관: 같은 높이로 출발·도착하면 중간에 꼭 수평인 순간(꼭대기/골짜기)이 있다
• 증명: EVT로 최대·최소 존재 → 내부점이면 페르마, 끝점뿐이면 상수함수
• 함정: 미분가능 빼먹지 말 것 — 반례 $|x|$ on $[-1,1]$
• 연결: MVT의 특수한 경우(기울기 0 버전). 교과서 Stewart §4.2.

관련 노트

• Calculus Theorems (index)
• Mean Value Theorem
• Extreme Value Theorem