Summary

Separable equation(변수분리형 방정식) 은 우변이 “x만의 함수 × y만의 함수” 꼴로 갈라지는 1계 미분방정식이야. 섞여 있던 x와 y를 양변으로 “이사”시킨 뒤 각각 따로 적분하면 풀린다. 결과는 종종 y를 명시적으로 못 풀고 음함수해로 남는다.

용어 설명

• separable equation (변수분리형 방정식): $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ 처럼 우변이 x만의 함수와 y만의 함수의 곱으로 분리되는 1계 방정식.
• separation of variables (변수분리법): y는 왼쪽, x는 오른쪽으로 몰아 놓고 양변을 적분하는 풀이 기법.
• implicit solution (음함수해): $y=\dots$ 꼴로 깔끔히 안 풀리고 $F(x,y)=C$ 형태로만 표현되는 해.
• singular solution (특이해 / 상수해): $h(y)=0$ 인 곳에서 나오는, 일반해 공식에 안 잡히는 별도의 해.
• initial condition (초기조건): $y(x_0)=y_0$ 같은 조건으로 적분상수 $C$ 를 결정하는 정보.

Separable Equations

1. 직관 (x와 y를 양변으로 갈라 따로 적분)

미분방정식은 보통 x와 y가 한 식에 뒤섞여 있어서 어디서부터 손대야 할지 막막해. 변수분리형은 운 좋게도 x랑 y를 깨끗하게 떼어낼 수 있는 경우야.

비유하자면, 한 방에 섞여 있던 “x 물건”과 “y 물건”을 양쪽 방으로 이사시키는 거야. y와 관련된 건 전부 왼쪽($dy$ 쪽), x와 관련된 건 전부 오른쪽($dx$ 쪽). 이렇게 갈라 놓고 나면 양쪽을 각자 따로 적분만 하면 끝난다. 적분은 우리가 이미 잘하니까!

2. 형태와 풀이 절차 ($LaTeX$)

형태: 우변이 x만의 함수 $g(x)$ 와 y만의 함수 $h(y)$ 의 곱으로 갈라지면 변수분리형이다.

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$

풀이 절차:

1. 분리(separate): y를 왼쪽, x를 오른쪽으로 이사시킨다.
   $\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$
2. 양변 적분(integrate):
   $\int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx+C$
3. 정리: 가능하면 y에 대해 풀고, 안 되면 음함수해 $F(x,y)=C$ 로 둔다.
4. 상수 결정: 초기조건이 있으면 대입해서 $C$ 를 구한다.

Tip

$dy/dx$ 를 분수처럼 다뤄서 $dy$ 와 $dx$ 를 양쪽으로 옮기는 게 변수분리의 핵심 동작이야. 엄밀히는 치환적분이지만, “분수처럼 옮긴다”고 외워두면 실전에서 안 헷갈린다.

3. 예시 (지수성장/감쇠 등 구체 풀이)

예시 1 — 지수성장/감쇠 (exponential growth/decay):

$\frac{dy}{dx}=ky$

y를 왼쪽으로 분리하고 적분:

$\int \frac{dy}{y}=\int kdx\Rightarrow \ln |y|=kx+C$

양변에 $e$ 를 씌우면:

$y=C{e}^{kx}$

($k>0$ 이면 성장, $k<0$ 이면 감쇠. 인구 증가, 방사성 붕괴, RC 회로 등에서 단골로 나온다.)

예시 2 — 음함수해가 나오는 경우:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$

분리하면 $ydy=xdx$, 적분하면:

$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1\Rightarrow y^2=x^2+C$

여기서 멈춰도 정답이야. $y=\pm \sqrt{x^2+C}$ 처럼 억지로 안 풀어도 되고, $y^2-x^2=C$ 꼴(음함수해)로 두는 게 자연스럽다.

4. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

어디에 쓰나:

• 인구·세균 증식, 방사성 붕괴, 약물 농도 감소 (지수 모델)
• 뉴턴의 냉각법칙, 단순한 화학 반응속도
• 우변을 “x항 × y항”으로 쪼갤 수 있는 모든 1계 문제의 1순위 시도법

Warning

흔한 함정 4가지:

• 상수해(특이해) 누락: $h(y)=0$ 이 되는 $y$ 값(예: 예시 1의 $y=0$)도 해다. 분리할 때 $h(y)$ 로 나누면서 이 해가 사라지니 따로 확인해라.
• 0으로 나누기: $\frac{dy}{h(y)}$ 를 쓰는 순간 $h(y)\ne 0$ 을 가정한 것. 나눈 값이 0이 될 수 있는지 점검.
• 절댓값·부호: $\ln |y|$ 의 절댓값을 빼먹지 마라. $e$ 를 씌운 뒤 상수 $C$ 가 부호를 흡수한다고 보면 편하다.
• +C 빠뜨림: 적분상수 $C$ 는 적분 “직후” 한 번만 붙이고, 초기조건으로 값을 정한다.

5. 30초 요약 (bullets)

• 형태: $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ → 우변이 x항 × y항으로 갈라짐.
• 풀이: $\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$ 로 분리 → 양변 적분 → $+C$.
• 대표해: $\frac{dy}{dx}=ky\Rightarrow y=C{e}^{kx}$ (지수성장/감쇠).
• 잊지 말 것: $h(y)=0$ 상수해 확인, 절댓값·부호, 0으로 나누기, 초기조건으로 $C$ 결정.
• 결과: y로 못 풀면 음함수해 $F(x,y)=C$ 로 OK.
• 교과서: Boyce & DiPrima, §2.2.

관련 노트

• Differential Equations (index)
• Ordinary Differential Equations (overview)
• First-Order Linear ODE (Integrating Factor)