Summary

비동차 이계 선형 미분방정식 $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=g(x)$ 의 특수해(particular solution) $y_p$ 를 구하는 두 가지 방법이다. 미정계수법(undetermined coefficients) 은 $g(x)$ 가 다항식·지수·사인/코사인처럼 “착할 때” 같은 꼴로 답을 추측해서 빠르게 푸는 방법이고, 매개변수변화법(variation of parameters) 은 $g(x)$ 가 무엇이든(예: $\tan x$, $1/x$) 작동하는 만능 방법이다. 둘 다 최종 답은 $y=y_h+y_p$ 형태로 합친다.

용어 설명

• homogeneous (동차): 우변이 0인 방정식 $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$. 그 일반해가 $y_h$.
• nonhomogeneous (비동차): 우변에 $g(x)\ne 0$ 가 붙은 방정식. “외부에서 미는 힘(forcing)“이 있다고 생각.
• forcing term (강제항): 우변 $g(x)$. 시스템을 흔드는 입력.
• particular solution (특수해): $g(x)$ 를 딱 맞춰 주는 해 하나, $y_p$.
• general solution (일반해): $y=y_h+y_p$. 모든 해를 포함.
• undetermined coefficients (미정계수법): 답의 모양을 추측하고 미정 상수(A, B, …)를 대입해서 정하는 방법.
• variation of parameters (매개변수변화법): 동차해의 상수를 함수로 “변하게” 만들어 특수해를 만드는 방법.
• Wronskian (론스키안): 두 해 $y_1,y_2$ 가 독립인지 재는 양, $W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$.

Undetermined Coefficients and Variation of Parameters

1. 큰 그림 (일반해 = 동차해 $y_h$ + 특수해 $y_p$)

비동차 방정식

$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=g(x)$

의 모든 해는 이렇게 쪼개진다.

$y=\underset{\text{우변=0짜리 일반해}}{\underbrace{y_h}}+\underset{\text{우변=}g(x)\text{ 맞추는 해 하나}}{\underbrace{y_p}}$

비유: 그네를 생각하자. $y_h$ 는 “내가 안 밀어도 그네가 스스로 흔들리는 자연스러운 움직임”이고, $y_p$ 는 “내가 일정한 리듬으로 밀 때(=forcing $g(x)$) 생기는 추가 움직임”이다. 진짜 그네의 전체 움직임은 이 둘을 더한 것이다.

그래서 순서는:

1. 먼저 우변을 0으로 두고 $y_h$ 를 구한다 (특성방정식 $a{r}^2+br+c=0$, 이건 Second-Order Linear ODE (Constant Coefficients) 참고).
2. 그다음 $y_p$ 를 미정계수법 또는 매개변수변화법으로 구한다.
3. 둘을 더한다. 초기조건은 맨 마지막에 $y=y_h+y_p$ 전체에 적용한다.

Warning

초기조건(initial condition)을 $y_h$ 에만 먼저 끼워 맞추면 틀린다. 반드시 $y_h+y_p$ 를 다 합친 다음에 상수 $c_1,c_2$ 를 정해야 한다.

2. 미정계수법 (forcing 모양 따라 $y_p$ 형태 추측)

핵심 아이디어: $g(x)$ 가 미분해도 모양이 안 변하는 함수(다항식, 지수, 사인/코사인)면, $y_p$ 도 같은 종류일 것이다. 그래서 같은 꼴로 가정하고, 원래 식에 대입해서 미정계수(A, B, …)를 맞춘다.

추측표 (guess table)

$g(x)$ 의 모양	가정하는 $y_p$
상수 $k$	$A$
다항식 $x^n$ (n차)	$A_n{x}^n+\cdots +A_{1}x+A_0$ (같은 n차 전부)
$e^{\alpha x}$	$A{e}^{\alpha x}$
$\cos \beta x$ 또는 $\sin \beta x$	$A\cos \beta x+B\sin \beta x$ (둘 다 넣기)
$e^{\alpha x}\cos \beta x$	$e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)$
위 항들의 곱·합	각각의 곱·합으로 가정

Tip

$\sin$ 만 있어도 $y_p$ 에는 $\cos$ 도 같이 넣어야 한다 ($A\cos \beta x+B\sin \beta x$). 미분하면 $\sin \leftrightarrow \cos$ 로 서로 바뀌기 때문. 다항식도 “최고차만”이 아니라 그 아래 차수를 전부 넣는다.

중복(겹침) 규칙

가정한 $y_p$ 의 항이 이미 $y_h$ 에 들어있으면(=동차해와 겹치면) 그대로 대입했을 때 0이 되어 버려서 계수를 못 정한다. 이때는 $y_p$ 에 $x$ 를 곱한다. 그래도 또 겹치면 $x^2$ 을 곱한다. 자세한 예시는 5절 참고.

3. 매개변수변화법 (일반적, Wronskian 공식)

미정계수법은 $g(x)$ 가 “착한 꼴”일 때만 쓴다. $g(x)=\tan x$, $\sec x$, $1/x$, $\ln x$ 처럼 추측이 안 되는 경우엔 매개변수변화법을 쓴다. 이건 어떤 $g(x)$ 든 작동하는 만능 공식이다.

먼저 동차해 두 개 $y_1,y_2$ 를 구해 둔다 ($y_h=c_1{y}_1+c_2{y}_2$). 그리고 표준형(standard form), 즉 $y^{\prime \prime }$ 의 계수를 1로 만든 형태

$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$

로 정규화한 뒤, Wronskian

$W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$

을 계산한다. 그러면 특수해는

$y_p=-y_1\int \frac{y_{2}f(x)}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}f(x)}{W}dx$

Warning

이 공식에서 쓰는 $f(x)$ 는 $y^{\prime \prime }$ 계수를 1로 나눈 뒤의 우변이다. 원래 식이 $2y^{\prime \prime }+\cdots =g(x)$ 였다면 전체를 2로 나눠 $f(x)=g(x)/2$ 로 만들고 써야 한다. 안 나누면 답이 틀린다.

직관: 동차해는 원래 $y_h=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ 로 상수 $c_1,c_2$ 였다. 매개변수변화법은 이 상수를 함수 $u_1(x),u_2(x)$ 로 “변하게(variation)” 해서 $y_p=u_1{y}_1+u_2{y}_2$ 로 두고, forcing을 흡수하도록 $u_1,u_2$ 를 푼 결과가 위 적분 공식이다.

4. 예시 (각 방법 하나씩)

예시 A — 미정계수법

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^{3x}$

동차해: $r^2-3r+2=0\Rightarrow r=1,2$, 따라서 $y_h=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}$.

$g=e^{3x}$ 이고 $e^{3x}$ 는 $y_h$ 와 겹치지 않으므로 (지수 3은 1, 2와 다름) 그대로 $y_p=A{e}^{3x}$ 로 가정.

대입하면 $y_p^{\prime }=3A{e}^{3x}$, $y_p^{\prime \prime }=9A{e}^{3x}$ 이므로
$9A-3(3A)+2A=1\Rightarrow (9-9+2)A=1\Rightarrow 2A=1\Rightarrow A=\frac{1}{2}.$

따라서
$y_p=\frac{1}{2}{e}^{3x},y=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}+\frac{1}{2}{e}^{3x}.$

예시 B — 매개변수변화법 (비표준 forcing)

$y^{\prime \prime }+y=\tan x$

$g=\tan x$ 는 추측표에 없다 → 매개변수변화법. 동차해: $r^2+1=0\Rightarrow r=\pm i$, 따라서 $y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$.

Wronskian:
$W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2=\cos x\cos x-(-\sin x)\sin x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$

이미 표준형이고 $f(x)=\tan x$. 공식에 대입:
$y_p=-\cos x\int \frac{\sin x\tan x}{1}dx+\sin x\int \frac{\cos x\tan x}{1}dx.$

두 번째 적분: $\int \cos x\tan xdx=\int \sin xdx=-\cos x$.

첫 번째 적분: $\int \sin x\tan xdx=\int \frac{{\sin }^{2}x}{\cos x}dx=\int \frac{1-{\cos }^{2}x}{\cos x}dx=\int (\sec x-\cos x)dx=\ln |\sec x+\tan x|-\sin x$.

정리하면
$y_p=-\cos x(\ln |\sec x+\tan x|-\sin x)+\sin x(-\cos x)=-\cos x\ln |\sec x+\tan x|.$

따라서 $y=c_1\cos x+c_2\sin x-\cos x\ln |\sec x+\tan x|$.

5. 언제 무엇을 / 흔한 함정 (중복 시 $x$ 곱하기)

언제 무엇을?

• 미정계수법: $g(x)$ 가 다항식 / 지수 / 사인·코사인 / 그 곱·합일 때. 빠르고 적분 없음. 먼저 시도.
• 매개변수변화법: $g(x)$ 가 그 외 아무거나 ($\tan x$, $\sec x$, $1/x$, $\ln x$ 등). 만능이지만 적분이 무겁다.

흔한 함정

1. 중복(겹침) → $x$ 곱하기: 가정한 $y_p$ 가 $y_h$ 의 한 항과 같으면 $x$ 를 곱한다.
   • 예: $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^{2x}$ 에서 $y_h=c_1{e}^x+c_2{e}^{2x}$. $e^{2x}$ 가 이미 $y_h$ 에 있으므로 $y_p=A{e}^{2x}$ 가 아니라 $y_p=Ax{e}^{2x}$.
   • 만약 $r=2$ 가 중근이라 $y_h$ 에 $e^{2x},x{e}^{2x}$ 둘 다 있었다면 $y_p=A{x}^2{e}^{2x}$ (한 번 더 곱).
2. 표준형으로 정규화 안 함: 매개변수변화법 공식의 $f(x)$ 는 $y^{\prime \prime }$ 계수를 1로 만든 뒤의 우변이다. 안 나누면 틀린다.
3. 사인만 보고 코사인 빠뜨림: $g=\sin \beta x$ 여도 $y_p=A\cos \beta x+B\sin \beta x$ 둘 다 넣어야 한다.
4. 다항식 저차항 빠뜨림: $g=x^2$ 면 $y_p=A{x}^2$ 가 아니라 $y_p=A{x}^2+Bx+C$.

6. 30초 요약

• 비동차 $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=g(x)$ 의 답은 $y=y_h+y_p$.
• $y_h$ 먼저 (우변 0), 그다음 $y_p$.
• 미정계수법: $g$ 가 다항식·지수·사인/코사인일 때 같은 꼴로 추측 → 대입 → 계수 결정. 빠름.
• 매개변수변화법: $g$ 가 아무거나일 때 만능. $W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2$, $y_p=-y_1\int \frac{y_{2}f}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}f}{W}dx$ (표준형 $f$ 기준).
• 겹치면 $x$ (또 겹치면 $x^2$) 곱하기.
• 매개변수변화법 전에 $y^{\prime \prime }$ 계수를 1로 정규화.
• 교과서: Boyce & DiPrima, §3.5 (미정계수법), §3.6 (매개변수변화법).

관련 노트

• Differential Equations (index)
• Second-Order Linear ODE (Constant Coefficients)
• Laplace Transform