Summary

이계 선형 상수계수 동차 미분방정식 $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ 을 푸는 방법이다. 핵심은 “해가 $y=e^{rx}$ 모양일 것”이라고 가정하면 미분방정식이 2차 대수방정식(특성방정식)으로 변신한다는 것. 그 2차식의 근이 어떻게 생겼느냐(서로 다른 실근 / 중근 / 복소근)에 따라 일반해 모양이 딱 세 가지로 정해진다.

용어 설명

• homogeneous (동차): 우변이 0인 방정식. $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ 처럼 모든 항에 $y$ 나 그 도함수가 들어 있어, $y$ 가 통째로 빠진 항(상수·강제항)이 없는 상태.
• characteristic equation (특성방정식): $y=e^{rx}$ 를 대입했을 때 나오는 2차 대수방정식 $a{r}^2+br+c=0$. 미분방정식의 “성격”을 결정한다.
• discriminant (판별식): $b^2-4ac$. 이 부호가 근의 세 경우(실근/중근/복소근)를 갈라준다.
• general solution (일반해): 임의상수 $C_1,C_2$ 를 포함해 모든 해를 한꺼번에 표현한 식. 2계라서 임의상수가 정확히 2개.
• damping (감쇠): 진동이 시간이 지나며 점점 작아지는 현상. 스프링에 달라붙은 끈적한 저항(마찰·공기저항) 같은 것.

Second-Order Linear ODE (Constant Coefficients)

1. 직관 (지수해 $e^{rx}$ 대입 → 대수방정식으로)

미분방정식이 어려운 이유는 “함수를 미분한 것”과 “함수 자신”이 한 식에 섞여 있기 때문이다. 그런데 세상에 미분해도 모양이 안 변하는 마법 같은 함수가 있다. 바로 지수함수 $e^{rx}$ 다.

$\frac{d}{dx}{e}^{rx}=r{e}^{rx},\frac{d^2}{d{x}^2}{e}^{rx}=r^2{e}^{rx}$

미분할 때마다 그냥 앞에 $r$ 이 하나씩 곱해질 뿐, $e^{rx}$ 라는 몸통은 그대로다. 그래서 “정답은 아마 $y=e^{rx}$ 모양일 거야”라고 찍고 대입하면, 미분 기호가 전부 사라지고 $r$ 에 대한 평범한 2차 방정식만 남는다. 미분방정식이 중학교 인수분해 문제로 변신하는 셈이다.

2. 동차 방정식과 특성방정식

동차(homogeneous) 방정식:

$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0(a,b,c\text{ 는 상수},a\ne 0)$

여기에 $y=e^{rx}$, $y^{\prime }=r{e}^{rx}$, $y^{\prime \prime }=r^2{e}^{rx}$ 를 대입하면:

$a{r}^2{e}^{rx}+br{e}^{rx}+c{e}^{rx}=0$

공통인수 $e^{rx}$ 로 묶으면:

$(a{r}^2+br+c)e^{rx}=0$

$e^{rx}$ 은 절대 0이 되지 않으므로, 괄호 안이 0이어야 한다. 이것이 특성방정식(characteristic equation):

$\boxed{a{r}^2+br+c=0}$

Tip

$y^{\prime \prime }$ 자리에 $r^2$, $y^{\prime }$ 자리에 $r$, $y$ 자리에 $1$ 을 그대로 끼워 넣으면 특성방정식이 바로 나온다. 외울 게 아니라 “치환”이라고 생각하면 까먹어도 즉석에서 만들 수 있다.

3. 근의 세 경우 (실수 서로 다름 / 중근 / 복소근)

특성방정식의 두 근을 판별식 $b^2-4ac$ 로 분류한다.

경우	조건	근	일반해
① 서로 다른 실근	$b^2-4ac>0$	$r_1\ne r_2$ (실수)	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
② 중근	$b^2-4ac=0$	$r$ (한 개)	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
③ 복소근	$b^2-4ac<0$	$\alpha \pm \beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

Important

• 중근일 때는 그냥 $C_1{e}^{rx}$ 만 쓰면 해가 하나밖에 안 잡힌다. 2계 방정식은 독립인 해가 2개 필요하므로 $x$ 를 곱한 $C_{2}x{e}^{rx}$ 를 보충해야 한다. → 그래서 $(C_1+C_{2}x)e^{rx}$.
• 복소근일 때는 답에 허수 $i$ 가 남으면 안 된다. 오일러 공식 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 덕분에 실수 형태 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$ 로 정리된다. $\alpha$ = 실수부, $\beta$ = 허수부.

4. 예시 (각 경우 하나씩) + 진동/감쇠 해석

① 서로 다른 실근

$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0\Rightarrow r^2-5r+6=0\Rightarrow (r-2)(r-3)=0\Rightarrow r=2,3$
$y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}$

해석: 진동 없이 순수하게 지수적으로 커지거나 줄어든다. (근이 음수면 감쇠, 양수면 폭발) → 물리에서 과감쇠(overdamping). 끈적한 꿀 속 스프링처럼 흔들리지도 못하고 천천히 제자리로 돌아옴.

② 중근

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0\Rightarrow r^2-4r+4=0\Rightarrow (r-2{)}^2=0\Rightarrow r=2(\text{중근})$
$y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$

해석: 진동과 비진동의 딱 경계선 → 임계감쇠(critical damping). 가장 빠르게, 흔들림 없이 평형으로 돌아오는 상태. (자동차 충격흡수장치가 노리는 지점)

③ 복소근

$y^{\prime \prime }+4y=0\Rightarrow r^2+4=0\Rightarrow r=\pm 2i(\alpha =0,\beta =2)$
$y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

해석: $\cos ,\sin$ 이 등장 → 진동. 여기선 $\alpha =0$ 이라 크기가 안 줄고 영원히 흔들린다(무감쇠). 만약 $\alpha <0$ 이면 $e^{\alpha x}$ 가 진폭을 점점 줄여 부족감쇠(underdamping) — 흔들리면서 서서히 잦아드는 종소리·그네 같은 움직임.

Tip

한 줄 그림: 실근 = 안 흔들림 / 복소근 = 흔들림. 그리고 지수부 $\alpha$(또는 실근 자체)가 음수면 잦아들고, 양수면 커진다.

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

쓰임새: 스프링-질량-감쇠 역학, RLC 전기회로, 진자·건물 진동 같은 공학 진동 문제. “복원력 + 저항”이 있는 거의 모든 시스템이 이 방정식으로 표현된다.

흔한 함정

• 임의상수는 항상 2개 ($C_1,C_2$). 2계 미분방정식이라 그렇다. 초기조건이 2개($y(0)$, $y^{\prime }(0)$) 주어져야 상수가 정해진다.
• 중근인데 $x$ 곱하기를 까먹는 실수: $(C_1+C_{2}x)e^{rx}$ 의 $x$ 를 빠뜨리면 틀린다.
• 복소근 답에 $i$ 를 남기는 실수: 반드시 $\cos /\sin$ 실수 형태로 바꾼다. $\alpha$(실수부)와 $\beta$(허수부)를 헷갈리지 말 것 — $e^{\alpha x}$ 의 지수에 들어가는 게 실수부, 삼각함수 안에 들어가는 게 허수부.
• 동차가 아닌 경우(우변 $\ne 0$)는 이 방법만으로 부족하다 → 미정계수법/매개변수변환법 필요(아래 관련 노트).

6. 30초 요약

• 풀 대상: $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ (이계, 선형, 상수계수, 동차).
• 비법: $y=e^{rx}$ 대입 → 특성방정식 $a{r}^2+br+c=0$.
• ① 다른 실근: $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$.
• ② 중근: $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$ ($x$ 잊지 말기).
• ③ 복소근 $\alpha \pm \beta i$: $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$.
• 직관: 실근=비진동(감쇠/폭발), 복소근=진동. 임의상수는 항상 2개.
• 교과서: Boyce & DiPrima, §3.1, 3.3, 3.4.

관련 노트

• Differential Equations (index)
• Undetermined Coefficients and Variation of Parameters
• Systems of Linear ODEs