Summary

대응 표본(paired)의 차이가 0과 다른지 검정하는 비모수 검정. Paired t-test의 비모수 대안. 차이 점수의 부호와 크기(순위)를 모두 고려한다.

용어 설명

• 대응 표본 (Paired samples): 같은 대상을 두 번 측정하여 얻은 짝지어진 데이터 (예: 치료 전/후)
• 차이 점수 (Difference score, D): 각 쌍의 두 측정값의 차이. $D_i=X_{후}-X_{전}$
• 부호 (Sign): 차이가 양(+)인지 음(−)인지. 변화의 방향 정보
• 순위 (Rank): 차이의 절대값($|D_i|$)에 매긴 크기 순서. 변화의 크기 정보
• 정규근사 (Normal approximation): 표본이 클 때 W 통계량의 분포를 정규분포로 근사하여 z-값 계산

Wilcoxon Signed-rank Test

언제 사용하는가?

• Paired t-test 대안: 차이 점수가 정규분포를 따르지 않을 때
• 전후 비교: 소표본 + 비정규 분포
• 순서형 데이터: 차이의 방향과 크기가 의미 있는 순서형

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검정 절차

1. 각 쌍의 차이 계산: $D_i=X_{i,\text{after}}-X_{i,\text{before}}$
2. $D_i=0$인 쌍 제외
3. $|D_i|$에 순위 부여
4. 양의 순위합($W^{+}$)과 음의 순위합($W^{-}$) 계산
5. 검정 통계량: $W=\min (W^{+},W^{-})$

$W^{+}={\sum }_{\{i:D_i>0\}}{R}_i,W^{-}={\sum }_{\{i:D_i<0\}}{R}_i$

수식 변수 풀이

• $W^{+}$: 양의 순위합 — 차이가 양수(개선)인 쌍들의 순위를 모두 더한 값
• $W^{-}$: 음의 순위합 — 차이가 음수(악화)인 쌍들의 순위를 모두 더한 값
• $R_i$: 각 차이 점수의 절대값에 부여된 순위
• $W=\min (W^{+},W^{-})$: 검정 통계량으로 둘 중 작은 값을 사용
• ${\mu }_W=\frac{n(n+1)}{4}$: H₀ 하에서 W의 기대값
• ${\sigma }_W=\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}$: W의 표준편차 — 대표본 정규근사에 사용

• 대표본: 정규근사 $z=\frac{W-{\mu }_W}{{\sigma }_W}$

Example

7명의 피험자, 프로그램 전후 점수:

| 피험자 | 전 | 후 | D | |D| | 순위 |
|--------|-----|-----|---|------|------|
| 1 | 72 | 78 | +6 | 6 | 4.5 |
| 2 | 85 | 82 | -3 | 3 | 2 |
| 3 | 60 | 65 | +5 | 5 | 3 |
| 4 | 90 | 91 | +1 | 1 | 1 |
| 5 | 78 | 85 | +7 | 7 | 6 |
| 6 | 65 | 71 | +6 | 6 | 4.5 |
| 7 | 80 | 72 | -8 | 8 | 7 |

$W^{+}=4.5+3+1+6+4.5=19$
$W^{-}=2+7=9$
$W=\min (19,9)=9$

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가정

가정	설명
대응 표본	관측치가 쌍으로 연결됨
연속형 또는 순서형	차이의 크기 비교가 의미 있어야 함
차이 분포의 대칭성	차이가 0을 중심으로 대칭 (엄격한 가정은 아님)

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Effect Size: matched-rank biserial correlation

$r=\frac{Z}{\sqrt{N}}$

수식 변수 풀이

• $r$: 효과 크기 — matched-rank biserial correlation
• $Z$: 정규근사 z-값 — W 통계량을 표준화한 값
• $N$: 쌍의 수 (D = 0인 쌍 제외)

• Z: 정규근사 z-값
• N: 총 관측치 수 (쌍의 수)

r 값	해석
0.1	Small
0.3	Medium
0.5	Large

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Sign Test와의 비교

구분	Wilcoxon signed-rank	Sign test
정보 이용	부호 + 순위(크기)	부호만
검정력	높음	낮음
가정	차이의 대칭성	없음
사용	차이 크기 비교 가능 시	순위 부여 불가 시

Implementation

from scipy import stats
import pingouin as pg
 
# === scipy ===
w_stat, p = stats.wilcoxon(before, after, alternative='two-sided')
print(f"W={w_stat:.1f}, p={p:.4f}")
 
# effect size
import numpy as np
# z-approximation
n = len(before)
z = (w_stat - n*(n+1)/4) / np.sqrt(n*(n+1)*(2*n+1)/24)
r = z / np.sqrt(n)
print(f"r = {abs(r):.3f}")
 
# === pingouin ===
result = pg.wilcoxon(before, after, alternative='two-sided')
print(result[['W-val', 'p-val', 'RBC', 'CLES']])

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관련 문서

• t-test — 모수 대안 (paired t-test)
• Mann-Whitney U test — 독립 표본 비모수 검정
• 통계 검정법 개요 — 모수/비모수 대응표