Summary

두 집단(또는 한 집단과 기준값)의 평균을 비교하는 모수 검정. 표본이 정규분포를 따르고, 분산이 알려지지 않았을 때 t-분포를 이용한다.

용어 설명

• 자유도 (df, Degrees of freedom): 통계량 계산에서 자유롭게 변할 수 있는 값의 수. t-test에서는 표본 크기에 의해 결정됨 (예: n−1 또는 n₁+n₂−2)
• 표준오차 (SE, Standard Error): 표본 통계량(예: 평균)의 불확실성을 나타내는 값. $SE=s/\sqrt{n}$이므로 표본이 클수록 SE 감소
• t-분포 (t-distribution): 정규분포와 비슷하지만 꼬리가 더 두꺼운 분포. 소표본에서 모분산을 모를 때 사용. df가 커지면 정규분포에 수렴
• CLT (Central Limit Theorem, 중심극한정리): 표본 크기가 충분히 크면(n > 30) 표본 평균의 분포가 정규분포에 근사한다는 정리. 원 데이터가 비정규여도 적용 가능
• Welch’s t-test: 두 집단의 분산이 다를 때 사용하는 t-test 변형. 현재 통계학계의 기본 권장값
• 대응 표본 (Paired samples): 같은 대상을 두 번 측정 (예: 전/후 비교). 개인 간 변동을 제거하여 검정력 향상

t-test

유형별 비교

유형	비교 대상	H₀	비모수 대안
One-sample	표본 평균 vs 기준값(μ₀)	μ = μ₀	Wilcoxon signed-rank (1집단)
Independent	두 독립 집단의 평균	μ₁ = μ₂	Mann-Whitney U test
Paired	같은 대상의 전후 비교	μ_D = 0	Wilcoxon signed-rank test

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1. One-sample t-test

“이 표본의 평균이 특정 값(μ₀)과 다른가?”

$t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}},df=n-1$

수식 변수 풀이

• $\bar{X}$: 표본 평균 — 수집한 데이터의 평균
• ${\mu }_0$: 기준값 — 비교하고자 하는 알려진 모집단 평균 (예: 7시간)
• $s$: 표본 표준편차 — 데이터의 흩어짐
• $\sqrt{n}$: 표본 크기의 제곱근. 분모에서 SE를 구성
• $df=n-1$: 자유도 — n개 데이터 중 평균을 고정하면 n−1개만 자유롭게 변함

Example

한국 성인의 평균 수면 시간이 7시간과 다른지 검정:
표본 10명의 평균 = 6.3시간, SD = 1.2시간

$t=\frac{6.3-7.0}{1.2/\sqrt{10}}=\frac{-0.7}{0.379}=-1.85$

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2. Independent-samples t-test

“두 독립 집단의 평균이 다른가?”

$t=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}{S{E}_{\text{diff}}},S{E}_{\text{diff}}=s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$

수식 변수 풀이

• ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$: 두 집단 평균의 차이 — 분자가 클수록 t가 커짐
• $S{E}_{\text{diff}}$: 평균 차이의 표준오차 — 차이 추정의 불확실성
• $s_p$: 합동 표준편차 — 두 집단의 변동성을 가중 평균으로 통합

$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}},df=n_1+n_2-2$

수식 변수 풀이

• $n_1,n_2$: 각 집단의 표본 크기
• $s_1^2,s_2^2$: 각 집단의 분산
• $df=n_1+n_2-2$: 전체 자유도 — 두 집단의 자유도를 합산

Welch’s t-test (등분산 가정 불필요)

$t=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

수식 변수 풀이

• 분모: 각 집단의 분산을 독립적으로 사용 ($s_p$로 합치지 않음) → 등분산 가정 불필요
• Welch-Satterthwaite df: 각 집단의 분산과 표본 크기로 근사 계산하며, 정수가 아닐 수 있음

df는 Welch-Satterthwaite 근사로 계산. scipy.stats.ttest_ind의 기본값 (equal_var=False).

Student's vs Welch's

• 등분산이 확실하면 Student’s t-test (검정력 약간 높음)
• 등분산이 불확실하면 항상 Welch’s → 현재 통계학계의 권장 기본값

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3. Paired-samples t-test

“같은 대상의 두 조건(전/후) 차이가 0과 다른가?”

$t=\frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}},df=n-1$

수식 변수 풀이

• $\bar{D}$: 차이 점수의 평균 — 각 쌍의 (후 − 전) 차이를 평균
• $s_D$: 차이 점수의 표준편차 — 개인마다 변화량이 얼마나 다른지
• $n$: 쌍의 수 (= 피험자 수)
• 직관: “평균적인 변화량이 변화의 불확실성에 비해 충분히 큰가?”

• $D_i=X_{i,\text{after}}-X_{i,\text{before}}$
• 개인 간 변동을 제거하므로 independent t-test보다 검정력 높음

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가정 (Assumptions)

가정	검정 방법	위반 시
정규성	Shapiro-Wilk, Q-Q plot	비모수 대안 또는 n > 30이면 CLT
등분산성 (independent만)	Levene’s test	Welch’s t-test 사용
독립성 (independent만)	연구 설계로 확보	위반 시 심각 — LMM 고려

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Effect Size

• Cohen’s d: $d=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2}{s_p}$
• Paired: $d_z=\frac{\bar{D}}{s_D}$
• t에서 d 변환: $d=\frac{2t}{\sqrt{df}}$ (independent), $d=\frac{t}{\sqrt{n}}$ (paired)

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ANOVA와의 관계

2집단 independent t-test는 one-way ANOVA의 특수 사례:

$F=t^2,d{f}_1=1,d{f}_2=n_1+n_2-2$

수식 변수 풀이

• $F$: ANOVA의 F 통계량 — 2집단일 때 t²과 동일
• $d{f}_1=1$: 분자 자유도 (집단 수 − 1 = 2 − 1)
• $d{f}_2$: 분모 자유도 (오차의 자유도)

→ ANOVA 참조

Implementation

from scipy import stats
import pingouin as pg
 
# === One-sample t-test ===
t, p = stats.ttest_1samp(data, popmean=7.0)
 
# === Independent t-test (Welch's, 기본) ===
t, p = stats.ttest_ind(group1, group2, equal_var=False)
 
# === Paired t-test ===
t, p = stats.ttest_rel(before, after)
 
# === pingouin (effect size + CI 자동) ===
result = pg.ttest(group1, group2, paired=False)
print(result[['T', 'dof', 'p-val', 'CI95%', 'cohen-d', 'BF10', 'power']])
 
# === 표본 크기 계산 ===
from statsmodels.stats.power import TTestIndPower
n = TTestIndPower().solve_power(effect_size=0.5, alpha=0.05, power=0.8)
print(f"필요 n (per group): {n:.0f}")  # → 64

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관련 문서

• 통계 검정법 개요 — 검정법 선택 플로우차트
• Cohen’s d — t-test의 effect size
• Mann-Whitney U test — 비모수 대안 (독립 2집단)
• Wilcoxon signed-rank test — 비모수 대안 (대응 2집단)
• ANOVA — 3+집단으로 확장
• Sample Size Determination — t-test 표본 크기 계산