Summary

대각화(diagonalization)는 행렬 $A$를 $A=PD{P}^{-1}$ 꼴로 쪼개는 것이다. 고유벡터(eigenvector)를 새 좌표축으로 삼으면, 복잡해 보이던 변환 $A$가 각 축을 고윳값(eigenvalue)만큼 늘리고 줄이는 단순한 스케일($D$)로 보인다. 덕분에 $A^k$ 같은 거듭제곱 계산이 엄청 쉬워진다.

용어 설명

• diagonalization (대각화): 행렬을 $A=PD{P}^{-1}$ 꼴로 분해하는 것.
• diagonal matrix (대각행렬): 대각선 말고는 전부 0인 행렬. 계산이 아주 쉽다.
• eigenvector / eigenvalue (고유벡터 / 고윳값): $A$를 곱해도 방향은 안 변하고 길이만 $\lambda$배 되는 벡터와 그 배율.
• eigenbasis (고유기저): 고유벡터들로 만든 좌표축(기저). 이게 존재해야 대각화 가능.
• diagonalizable / defective (대각화 가능 / 결함 행렬): 고유벡터가 충분하면 가능, 모자라면 불가능.
• spectral theorem (스펙트럼 정리): 실대칭행렬은 항상 직교대각화된다는 정리.
• orthogonal matrix (직교행렬): 열들이 서로 수직이고 길이 1. 역행렬이 그냥 전치($Q^{-1}=Q^T$).

Diagonalization

1. 직관 (고유벡터 좌표계로 보면 변환이 그냥 축별 스케일)

행렬 $A$를 곱한다는 건 공간을 늘리고 비틀고 돌리는 “변환”이다. 보통은 좌표축(x축, y축) 기준으로 보면 숫자들이 뒤죽박죽 섞여 복잡해 보인다.

그런데 고유벡터를 새 좌표축으로 골라서 그 눈으로 보면, $A$는 사실 “1번 축은 ${\lambda }_1$배, 2번 축은 ${\lambda }_2$배” 늘리는 것뿐이다. 비틀림도 회전도 없이, 그냥 축마다 고무줄을 잡아당기는 셈이다.

비유하면: 지도를 똑바로 들면 길이 사선으로 꼬여 보이지만, 지도를 살짝 돌려서 길과 나란히 맞추면 “그냥 동쪽으로 쭉, 북쪽으로 쭉”이 된다. 여기서 지도를 돌리는 역할이 $P$, 돌린 뒤 보이는 단순한 스케일이 $D$다.

2. 정의 (A=PDP⁻¹)

$$A=PD{P}^{-1}$$

• $P$의 열(column) = $A$의 고유벡터들 $v_1,v_2,\dots ,v_n$
• $D$ = 대응하는 고윳값들의 대각행렬

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

읽는 법: $P^{-1}$이 벡터를 “고유벡터 좌표계”로 바꿔주고 → $D$가 각 축을 $\lambda$배 스케일하고 → $P$가 원래 좌표계로 되돌린다.

Important

$P$의 열 순서와 $D$의 고윳값 순서는 반드시 짝이 맞아야 한다. $v_1$이 첫 열이면 ${\lambda }_1$이 $D$의 첫 대각원소여야 한다.

3. 가능 조건 (일차독립 고유벡터 n개)

$n\times n$ 행렬 $A$는 일차독립(linearly independent)인 고유벡터를 $n$개 가질 때만 대각화 가능하다(diagonalizable). 이 고유벡터들이 $P$의 열을 채워야 $P^{-1}$이 존재하기 때문이다.

• 서로 다른 고윳값이 $n$개면 → 고유벡터가 자동으로 일차독립 → 무조건 대각화 가능.
• **중복 고윳값(repeated eigenvalue)**이 있으면 → 고유벡터가 모자랄 수 있어서 불가능할 수도 있다. 이런 걸 **결함 행렬(defective matrix)**이라 부른다.

Tip

고유벡터가 모자라 대각화가 안 될 땐, 그 대신 **Jordan 표준형(Jordan form)**으로 “거의 대각”인 꼴까지는 만들 수 있다.

4. 쓰임 (거듭제곱 A^k=PD^kP⁻¹ 등) + 예시

대각화의 최대 장점은 거듭제곱이다.

$$A^k=(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})\cdots (PD{P}^{-1})=P{D}^k{P}^{-1}$$

가운데 $P^{-1}P$들이 전부 사라지고, $D^k$만 남는다. $D$는 대각행렬이라 $D^k$는 그냥 대각원소를 각각 $k$제곱하면 끝이다.

$$D^k=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1^k& 0\\ 0& {\lambda }_2^k\end{array}\right]$$

쓰이는 곳: 점화식(피보나치 등), 마르코프 연쇄(Markov chain)의 장기 상태, 미분방정식, 행렬 지수 $e^{At}$.

예시 (2×2):

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$$

고윳값은 ${\lambda }_1=2$, ${\lambda }_2=3$ (삼각행렬이라 대각원소가 곧 고윳값).

고유벡터: $\lambda =2\to v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $\lambda =3\to v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$.

$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

이제 $A^{10}$도 손쉽게:

$$A^{10}=P{D}^{10}{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}^{10}& 0\\ 0& 3^{10}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1024& 3^{10}-2^{10}\\ 0& 3^{10}\end{array}\right]$$

$A$를 10번 곱하는 노가다 대신, 대각원소만 10제곱하면 된다.

5. 대칭행렬 = 직교대각화 (spectral theorem)

$A$가 **실대칭행렬(real symmetric matrix, $A=A^T$)**이면 아주 특별한 일이 생긴다. 스펙트럼 정리(spectral theorem):

$$A=QD{Q}^T$$

• 고윳값이 전부 실수다.
• 고유벡터들을 **서로 직교(orthogonal)**하게 고를 수 있다.
• 그래서 $P$ 대신 **직교행렬 $Q$**를 쓸 수 있고, $Q^{-1}=Q^T$라 역행렬 계산이 공짜다.

이걸 **직교대각화(orthogonal diagonalization)**라 한다. 대칭행렬은 “항상, 무조건” 대각화된다는 점이 핵심이다 (결함 걱정 없음). PCA, 이차형식(quadratic form) 분석 등에서 단골로 등장한다.

6. 30초 요약

• 대각화: $A=PD{P}^{-1}$. $P$의 열 = 고유벡터, $D$의 대각 = 고윳값.
• 직관: 고유벡터를 좌표축으로 삼으면 변환이 “축별 $\lambda$배 스케일”로 단순해진다.
• 가능 조건: 일차독립 고유벡터 $n$개 필요. 서로 다른 고윳값 $n$개면 자동 OK, 중복이면 위험(defective).
• 킬러 앱: $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$ — 대각원소만 $k$제곱하면 끝.
• 대칭행렬: 항상 직교대각화 $A=QD{Q}^T$ (스펙트럼 정리), $Q^{-1}=Q^T$.
• 함정: 고유벡터 부족 시 불가(→ Jordan form), $P$와 $D$ 순서 일치 필수.
• 교과서: Strang, Linear Algebra, Ch 6.

관련 노트

• Linear Algebra Concepts (index)
• Eigenvalues and Eigenvectors
• Singular Value Decomposition (SVD)