Summary

행렬 $A$를 곱해도 방향이 안 바뀌고 길이만 $\lambda$배로 변하는 특별한 벡터가 고유벡터(eigenvector), 그때의 배율 $\lambda$가 고윳값(eigenvalue) 이다. $Av=\lambda v$ ($v\ne 0$) 한 줄로 정의되며, 특성방정식(characteristic equation) $\det (A-\lambda I)=0$으로 $\lambda$를, 그다음 $(A-\lambda I)v=0$으로 $v$를 구한다. 대각화, 거듭제곱, 미분방정식, 마르코프 연쇄, PCA, 안정성 분석의 핵심 도구다.

용어 설명

• eigenvalue (고윳값) — 고유벡터가 늘어나는 배율 $\lambda$.
• eigenvector (고유벡터) — 변환해도 방향이 그대로인 0이 아닌 벡터 $v$.
• characteristic equation (특성방정식) — $\det (A-\lambda I)=0$. 고윳값을 찾는 다항식.
• eigenspace (고유공간) — 같은 $\lambda$를 가지는 고유벡터들 + 0이 모인 부분공간, 즉 $(A-\lambda I)v=0$의 해공간.
• characteristic polynomial (특성다항식) — $\det (A-\lambda I)$를 $\lambda$에 대해 전개한 다항식.
• trace (대각합) — 대각 원소들의 합. 고윳값들의 합과 같다.

Eigenvalues and Eigenvectors

1. 직관 (변환해도 방향이 안 변하고 크기만 λ배 되는 특별한 벡터)

행렬을 곱한다는 건 공간을 “변형”시키는 일이다. 늘리고, 찌그러뜨리고, 회전시킨다. 종이 위에 점들을 찍고 행렬 $A$를 곱하면 대부분의 화살표(벡터)는 방향이 휙 바뀐다.

그런데 어떤 특별한 화살표는 변형을 당해도 방향이 전혀 안 바뀌고, 그냥 그 자리에서 길이만 늘어나거나 줄어든다. 마치 고무판을 잡아당길 때, 잡아당기는 축 위에 놓인 화살표는 방향은 그대로고 길이만 변하는 것과 같다.

• 그 “휘지 않고 늘어나기만 하는 특별한 축” = 고유벡터(eigenvector)
• 그 축에서 늘어난 배율 = 고윳값(eigenvalue) $\lambda$

$\lambda =2$면 2배로 늘어나고, $\lambda =0.5$면 절반으로 줄고, $\lambda =-1$이면 방향이 정반대로 뒤집힌다(여전히 같은 직선 위라 “방향 축”은 같다고 본다).

2. 정의 (Av=λv, v≠0)

$$Av=\lambda v,v\ne 0$$

• $A$ : $n\times n$ 정사각행렬
• $v$ : 고유벡터(eigenvector), 반드시 0이 아닌 벡터
• $\lambda$ : 고윳값(eigenvalue), 스칼라

해석: “$A$를 곱한 결과($Av$)가 원래 벡터($v$)에 그냥 숫자 $\lambda$를 곱한 것과 똑같다.” 즉 변환이 이 벡터에는 스칼라 곱처럼만 작용한다.

Important

$v=0$은 항상 $A\cdot 0=\lambda \cdot 0$을 만족하므로 의미가 없다. 그래서 고유벡터는 정의상 0을 제외한다. 반면 고윳값 $\lambda =0$은 가능하다($Av=0$, $A$가 특이행렬일 때).

3. 구하는 법 (특성방정식 → λ → v)

$Av=\lambda v$를 옮기면 $Av-\lambda v=0$, 즉

$$(A-\lambda I)v=0$$

이 식이 $v\ne 0$인 해(비자명해, nontrivial solution)를 가지려면 $A-\lambda I$가 역행렬을 가지면 안 된다. 즉 행렬식이 0이어야 한다.

Step 1 — 고윳값 찾기 (특성방정식):

$$\det (A-\lambda I)=0$$

이 방정식(특성방정식, characteristic equation)을 $\lambda$에 대해 풀면 고윳값들이 나온다.

Step 2 — 고유벡터 찾기:
각 고윳값 $\lambda$를 다시 $(A-\lambda I)v=0$에 대입해 연립방정식을 풀면 그 $\lambda$에 대응하는 고유벡터(=고유공간, eigenspace)가 나온다.

Tip

빠른 검산: 고윳값들의 합 = 대각합(trace), 고윳값들의 곱 = $\det A$. 계산 끝나면 이 두 개로 항상 확인하자. 또한 대칭행렬(symmetric matrix) 은 고윳값이 항상 실수이고, 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 직교(orthogonal)한다.

4. 예시 (구체 2x2)

예시 1 — 대각행렬 (제일 쉬움):

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$$

$\det (A-\lambda I)=(2-\lambda )(3-\lambda )=0\Rightarrow \lambda =2,3$.

• $\lambda =2$ : 고유벡터 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ ($x$축)
• $\lambda =3$ : 고유벡터 $v_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ ($y$축)

대각행렬은 대각 원소가 그대로 고윳값, 표준축이 그대로 고유벡터다.

예시 2 — 비대각 2x2:

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$$

특성방정식:

$$\det (A-\lambda I)=(2-\lambda {)}^2-1={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)=0$$

$\Rightarrow \lambda =1,3$ (검산: 합 $1+3=4=$ trace, 곱 $1\cdot 3=3=\det A$ ✓)

• $\lambda =3$ : $(A-3I)v=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]v=0\Rightarrow -x+y=0\Rightarrow v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$
• $\lambda =1$ : $(A-I)v=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]v=0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow v=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$

대칭행렬이라 두 고유벡터 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$가 서로 직교한다(내적 $=0$).

5. 어디에 쓰나 / 흔한 함정

어디에 쓰나:

• 대각화(diagonalization) : $A=PD{P}^{-1}$로 분해해 계산을 단순화.
• 행렬 거듭제곱 : $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$ — $D$는 대각이라 거듭제곱이 쉽다.
• 미분방정식 / 마르코프 연쇄(Markov chain) : 고윳값이 시스템의 장기 거동(수렴, 발산, 진동)을 결정. $|\lambda |<1$이면 줄고, $>1$이면 커진다.
• PCA(주성분 분석) : 공분산행렬의 고유분해 — 가장 큰 고윳값 방향이 데이터가 가장 많이 퍼진 축.
• 안정성 분석(stability) : 고윳값의 부호/크기로 시스템이 안정한지 판단.

흔한 함정

• 고유벡터는 0 제외, 그리고 스칼라배는 모두 같은 고유벡터다. $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$과 $\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$은 같은 고유벡터(방향이 같음). 그래서 보통 길이 1로 정규화한다.
• 복소 고윳값(complex eigenvalue) 도 가능하다 — 회전행렬처럼 실수 축이 안 남는 경우.
• 고유벡터가 부족하면 대각화 불가 : $n\times n$인데 일차독립 고유벡터가 $n$개 안 되면(중복 고윳값 등) 대각화할 수 없다(defective matrix).
• 교과서: Strang, Introduction to Linear Algebra, Ch 6.

6. 30초 요약

• 정의: $Av=\lambda v$, $v\ne 0$. $v$=고유벡터(방향 그대로), $\lambda$=고윳값(늘어난 배율).
• 고윳값 구하기: $\det (A-\lambda I)=0$ (특성방정식)의 근.
• 고유벡터 구하기: 각 $\lambda$에 대해 $(A-\lambda I)v=0$ 풀기 (=고유공간).
• 검산: 합 = trace, 곱 = $\det A$.
• 성질: 대칭행렬 → 실고윳값 + 직교 고유벡터.
• 함정: 고유벡터는 0 제외·스칼라배 자유, 복소 고윳값 가능, 고유벡터 부족 시 대각화 불가.

관련 노트

• Linear Algebra Concepts (index)
• Determinant
• Diagonalization