Summary

선형변환(linear transformation)은 공간을 “균일하게” 늘이거나 회전·반사·사영하는 함수예요. 격자(grid)는 평행을 유지하고 직선은 직선으로, 원점은 그 자리에 그대로 있어요. 유한차원에서는 모든 선형변환을 행렬 곱 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ 하나로 적을 수 있다는 게 핵심이에요.

용어 설명

• linear transformation (선형변환): 덧셈과 상수배를 보존하는 함수.
• matrix representation (행렬 표현): 선형변환을 나타내는 행렬 $A$.
• kernel / null space (핵 / 영공간): $T(\mathbf{x})=0$이 되는 입력들의 집합.
• image / range (상 / 치역): 실제로 나올 수 있는 출력들의 집합.
• basis vector (기저벡터): 공간을 만드는 기준 축, 예: ${\mathbf{e}}_1=(1,0),{\mathbf{e}}_2=(0,1)$.
• subspace (부분공간): 그 자체로 다시 작은 벡터공간이 되는 집합.

Linear Transformations

1. 직관 (격자를 균일하게 늘이고 회전; 원점 고정, 직선은 직선)

종이에 모눈종이(격자, grid)를 그렸다고 상상해봐요. 선형변환은 이 격자를 통째로 잡아당기거나 돌리는 “공평한” 변형이에요.

• 평행했던 선은 변형 후에도 평행해요.
• 일정 간격이던 눈금은 변형 후에도 일정 간격이에요 (한쪽만 빽빽해지지 않음).
• 직선은 변형 후에도 직선 (휘지 않음).
• 원점(0,0)은 절대 움직이지 않아요.

변환 전 격자            회전 변환 후
. . . .                  .
. . . .                . . .
. . . .              . . . . .
O-------               . . O . .
                       . . . . .
                         . . .
                           .
(O = 원점, 항상 고정)

찌그러뜨리거나(곡선으로 휘게) 원점을 옮기는 변형은 선형변환이 아니에요.

2. 정의 (선형성 두 조건)

함수 $T$가 다음 두 조건을 만족하면 선형변환이에요.

1. 덧셈 보존: $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$
2. 상수배 보존: $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

이 둘을 합치면 일차결합(linear combination) 보존이 돼요.

$T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})=aT(\mathbf{u})+bT(\mathbf{v})$

그리고 자동으로 따라오는 사실: 원점은 항상 고정.

$T(0)=0$

(외우는 법: “먼저 더하고 변환” = “먼저 변환하고 더하기”가 똑같으면 선형.)

3. 행렬과의 관계 (모든 선형변환 = 행렬 곱 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$)

유한차원에서는 모든 선형변환이 어떤 행렬 $A$ 하나로 표현돼요.

$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$

핵심 트릭: $A$의 각 열은 기저벡터의 상(image)이에요.

$A=[T({\mathbf{e}}_1)T({\mathbf{e}}_2)\cdots ]$

즉 “${\mathbf{e}}_1$이 어디로 가는지, ${\mathbf{e}}_2$가 어디로 가는지”만 알면 행렬 전체가 결정돼요. 나머지 벡터는 기저의 일차결합이니까 자동으로 따라가요.

4. 예시 (회전·스케일·사영 변환)

(1) 90도 회전 (rotation)

$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

${\mathbf{e}}_1=(1,0)$이 위쪽 $(0,1)$로 돌아갔어요.

(2) 스케일 / 늘이기 (scaling)

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

가로는 2배, 세로는 3배로 늘어나요.

(3) x축으로의 사영 (projection)

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]$

모든 점을 x축으로 “납작하게” 눌러요. 그림자(shadow) 만들기와 같아요.

5. kernel과 image / 어디에 쓰나

• kernel (핵 = null space, 영공간): $T(\mathbf{x})=0$이 되는 입력들의 집합. “변환이 0으로 뭉개버리는” 방향들이에요. 위의 사영 예시에서는 y축 전체가 kernel (높이 정보가 다 사라지니까).
• image (상 = range, 치역): 실제로 나올 수 있는 출력 전체. 사영 예시에서는 x축이 image.
• 둘 다 부분공간(subspace) 이에요 (원점을 포함하고, 덧셈·상수배에 닫혀 있음).

어디에 쓰나

• 컴퓨터 그래픽스: 캐릭터 회전·확대·그림자 (변환 = 행렬 곱).
• 데이터 변환: 좌표계 바꾸기, 차원 줄이기(사영).
• 고윳값(eigenvalue) 분석: 변환해도 방향이 안 변하는 “불변 방향”을 찾기.
• 교과서: Strang, 《Linear Algebra》 Ch 7-8.

6. 30초 요약

• 선형변환 = 공간을 균일하게 늘이/회전/반사/사영 (직선→직선, 평행 유지, 원점 고정).
• 조건 두 개: $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$, $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$ → 일차결합 보존.
• 유한차원에서 모든 선형변환 = 행렬 곱 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$.
• $A$의 열 = 기저벡터의 상 $T({\mathbf{e}}_i)$.
• kernel = 0으로 보내지는 입력, image = 나올 수 있는 출력 (둘 다 부분공간).

관련 노트

• Linear Algebra Concepts (index)
• Matrix Multiplication
• Eigenvalues and Eigenvectors