Summary

여러 변수가 서로 영향을 주며 동시에 변하는 상황을 **연립 일계 선형 미분방정식(system of linear ODEs)**으로 묶어, $x^{\prime }=Ax$라는 행렬 한 줄로 표현한다. 행렬 $A$의 고윳값(eigenvalue) $\lambda$와 고유벡터(eigenvector) $v$를 구하면 해는 $v{e}^{\lambda t}$ 꼴의 단순한 지수함수 조합으로 풀린다. 고윳값의 부호만 보면 시스템이 안정한지(0으로 수렴) 불안정한지까지 바로 알 수 있다.

용어 설명

• system of ODEs (연립 미분방정식): 미지함수가 여러 개이고, 각 미분방정식이 서로의 함수를 포함해 얽혀 있는 방정식 묶음.
• matrix form x’=Ax (행렬형): 여러 식을 벡터 $x$와 상수행렬 $A$로 한 줄에 압축한 표현.
• eigenvalue method (고윳값법): $A$의 고윳값·고유벡터로 기본해를 만드는 풀이법.
• eigenvalue / eigenvector (고윳값 / 고유벡터): $Av=\lambda v$를 만족하는 특별한 방향 $v$와 그 배율 $\lambda$.
• general solution (일반해): 모든 해를 포괄하는, 임의 상수 $c_i$가 붙은 해.
• phase portrait (위상평면): 시간 $t$를 지운 채 해가 평면 위에서 그리는 궤적 그림.
• stability (안정성): 시간이 흐를 때 해가 원점으로 모이는지 흩어지는지의 성질.
• decouple (분리/비연성화): 얽힌 변수들을 서로 독립인 단순한 방향들로 갈라놓는 것.

Systems of Linear ODEs

1. 직관 (서로 얽힌 변화량 → 행렬 한 줄 x’=Ax)

토끼와 여우를 생각해보자. 토끼 수가 늘면 여우가 잘 먹어 늘고, 여우가 늘면 토끼는 줄어든다. 즉 토끼의 변화량은 여우 수에, 여우의 변화량은 토끼 수에 달려 있다. 두 변화가 서로 손을 잡고 있는 셈이다.

이렇게 “내 변화가 남의 값에 달린” 식이 여러 개면 따로따로 풀 수 없다. 한꺼번에 묶어야 한다. 변수들을 벡터 $x$로 모으면

$x^{\prime }=Ax$

라는 딱 한 줄이 된다. 여기서 $x$는 “지금 상태(토끼 수, 여우 수)“를 담은 벡터, $A$는 “서로 얼마나 영향을 주는지”를 담은 상수행렬(constant matrix)이다.

Tip

$x^{\prime }=Ax$는 사실 우리가 아는 가장 쉬운 방정식 $y^{\prime }=ay$($\to y=e^{at}$)의 벡터 버전이다. 숫자 $a$가 행렬 $A$로 커진 것뿐이다. 그래서 해도 $e$의 지수 꼴이 나온다.

2. 행렬형과 고윳값 풀이법

상태벡터 $x(t)$와 상수행렬 $A$로 쓰면

$x^{\prime }(t)=Ax(t),x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right].$

핵심 아이디어(decouple): 만약 어떤 방향 $v$를 따라 움직이면 $A$가 그 방향을 바꾸지 않고 단지 $\lambda$배만 늘리거나 줄인다면(즉 $Av=\lambda v$), 그 방향에서는 시스템이 그냥 $x^{\prime }=\lambda x$가 되어 해가 $e^{\lambda t}$로 단순해진다. 이런 특별한 방향이 고유벡터, 배율이 고윳값이다.

풀이 절차:

1. 특성방정식(characteristic equation) $\det (A-\lambda I)=0$으로 고윳값 ${\lambda }_i$를 구한다.
2. 각 ${\lambda }_i$에 대해 $(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$을 풀어 고유벡터 $v_i$를 구한다.
3. 기본해(basic solution)는 $x_i=v_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$.
4. 서로 다른 실고윳값일 때 일반해는 이들의 합:

$x(t)=c_1{v}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{v}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}+\cdots ={\sum }_i{c}_i{v}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}.$

Important

고윳값 종류에 따라 해의 모양이 달라진다.

• 서로 다른 실고윳값: 위 식처럼 지수함수의 합.
• 복소 고윳값(complex eigenvalue) $\lambda =\alpha \pm \beta i$: 오일러 공식으로 $e^{\alpha t}(\cos \beta t,\sin \beta t)$ 꼴의 진동(oscillation) 해가 나온다.
• 중복 고윳값(repeated eigenvalue) 인데 고유벡터가 부족: 일반화 고유벡터(generalized eigenvector) 를 함께 써서 $t{e}^{\lambda t}$ 항을 추가한다.

3. 고윳값 부호와 안정성 (위상평면 개요)

해의 장기 운명은 $e^{\lambda t}$가 결정한다. $\lambda$의 실수부(real part)가 양수면 폭발($e^{+}$), 음수면 소멸($e^{-}$)이다.

고윳값 상태	원점의 거동	위상평면 모양
둘 다 실수, 음수	안정(수렴)	node(안정 결절점)
둘 다 실수, 양수	불안정(발산)	node(불안정)
실수, 부호 다름 ($+,-$)	불안정	saddle(안장점)
복소, 실수부 음수	안정(소용돌이치며 수렴)	spiral(나선)
복소, 실수부 0 (순허수)	주기 진동	center(중심)

Tip

외우는 한 줄: “고윳값 실수부가 모두 음수면 안정(원점으로 수렴), 하나라도 양수면 불안정, 순허수면 영원히 도는 center.” 부호가 다른 saddle은 어느 방향으로 출발하느냐에 따라 갈리는 “산등성이” 같은 점이다.

4. 예시 (2x2 시스템 풀이)

$x^{\prime }=Ax,A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 1\end{array}\right].$

1) 고윳값:

$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 4& 1-\lambda \end{array}\right]=(1-\lambda {)}^2-4=0.$

$(1-\lambda {)}^2=4\Rightarrow 1-\lambda =\pm 2\Rightarrow {\lambda }_1=3,{\lambda }_2=-1.$ (실수, 부호가 다름 → saddle, 불안정)

2) 고유벡터:

${\lambda }_1=3$: $(A-3I)v=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 4& -2\end{array}\right]v=0\Rightarrow -2v_1+v_2=0$, 즉 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right].$

${\lambda }_2=-1$: $(A+I)v=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\right]v=0\Rightarrow 2v_1+v_2=0$, 즉 $v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right].$

3) 일반해:

$x(t)=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]e^{3t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]e^{-t}.$

$e^{3t}$ 항은 시간이 갈수록 폭발하고 $e^{-t}$ 항은 사라지므로, 거의 모든 출발점에서 해는 $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 방향으로 멀어진다. 전형적인 saddle.

5. 어디에 쓰나 / 고계 방정식 → 시스템 변환

쓰임: 포식자-피식자(predator-prey), 연성 진동자(coupled oscillators, 용수철로 이은 두 추), 전기 회로(circuit), 감염병의 구획모형(compartment model, SIR 등). 변수가 여러 개고 서로 영향을 주면 거의 다 이 틀에 들어온다.

고계 → 1계 시스템 변환: $n$계 단일 방정식은 변수 치환으로 1계 연립으로 바꿀 수 있다. 예를 들어 $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$에서 $x_1=y,x_2=y^{\prime }$로 두면

$x_1^{\prime }=x_2,x_2^{\prime }=y^{\prime \prime }=-2y-3y^{\prime }=-2x_1-3x_2,$

$\Rightarrow {\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right].$

이렇게 하면 2계 방정식도 $x^{\prime }=Ax$ 한 형태로 통일해서 고윳값법으로 풀 수 있다.

6. 30초 요약

• 서로 얽힌 변화 → 벡터·행렬로 묶어 $x^{\prime }=Ax$ (스칼라 $y^{\prime }=ay$의 벡터판).
• 풀이: $\det (A-\lambda I)=0$으로 고윳값 $\lambda$, 그다음 고유벡터 $v$.
• 기본해 $v{e}^{\lambda t}$, 일반해 $x={\sum }_i{c}_i{v}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$ (서로 다른 실고윳값).
• 복소 고윳값 → 진동(sin·cos), 중복 고윳값 → $t{e}^{\lambda t}$(일반화 고유벡터).
• 안정성: 실수부 전부 음수 = 안정, 하나라도 양수 = 불안정, 순허수 = center.
• 위상평면: node, saddle, spiral, center.
• $n$계 방정식은 $x_1=y,x_2=y^{\prime },\dots$로 1계 시스템 변환 가능.
• 교과서: Boyce & DiPrima, Ch 7.

관련 노트

• Differential Equations (index)
• Second-Order Linear ODE (Constant Coefficients)
• Eigenvalues and Eigenvectors